Клинбиз | Клининговая компания в Нижнем Новгороде | Цены на клининговые услуги и уборку

Не нашли? Тогда посмотрите здесь.

Все в числе «Пи»

Вообще это может быть не только номер телефона, а любая информация, закодированная с помощью цифр. К примеру, если представить все произведения Александра Сергеевича Пушкина в цифровом виде, то они хранились в числе Пи еще до того, как он их написал, даже до того, как он родился. В принципе, они хранятся там до сих пор. Кстати, ругательства математиков в π тоже присутствуют, да и не только математиков.

Словом, в числе Пи есть всё, даже мысли, которые посетят вашу светлую голову завтра, послезавтра, через год, а может, через два. В это очень трудно поверить, но даже если мы представим, что поверили, еще труднее будет получить оттуда информацию и расшифровать её. Так что вместо того, чтобы копаться в этих цифрах, может проще подойти к понравившейся девушке и спросить у неё номер?.. Но для тех, кто не ищет легких путей, ну или просто интересующихся, чему же равно число Пи, предлагаю несколько способов его вычисления. Считайте на здоровье.

Чему равно число Пи?

Экспериментальный метод.

Если число Пи это отношение длины окружности к её диаметру, то первый, пожалуй, самый очевидный способ нахождения нашей загадочной константы будет вручную произвести все измерения и вычислить число Пи по формуле π=l/d. Где l — длина окружности, а d — её диаметр. Все очень просто, необходимо лишь вооружится ниткой для определения длины окружности, линейкой для нахождения диаметра, и, собственно, длины самой нитки, ну и калькулятором, если у вас проблемы с делением в столбик. В роли измеряемого образца может выступить кастрюля или банка из под огурцов, неважно, главное? чтоб в основании была окружность.

Рассмотренный способ вычисления самый простой, но, к сожалению, имеет два существенных недостатка, отражающихся на точности полученного числа Пи. Во-первых, погрешность измерительных приборов (в нашем случае это линейка с ниткой), а во-вторых, нет никакой гарантии, что измеряемая нами окружность будет иметь правильную форму. Поэтому не удивительно, что математика подарила нам множество других методов вычисления π, где нет нужды производить точные измерения.

Ряд Лейбница.

Существует несколько бесконечных рядов, позволяющих точно вычислять число Пи до большого количества знаков после запятой. Одним из самых простых рядов является ряд Лейбница. π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …

Все просто: берем дроби с 4 в числителе (это то что сверху) и одним числом из последовательности нечетных чисел в знаменателе (это то что снизу), последовательно складываем и вычитаем их друг с другом и получаем число Пи. Чем больше итераций или повторений наших нехитрых действий, тем точнее результат. Просто, но не эффективно, к слову, необходимо 500000 итераций чтоб получить точное значение числа Пи с десятью знаками после запятой. То есть, нам придется несчастную четверку разделить аж 500000 раз, а помимо этого полученные результаты мы должны будем 500000 раз вычитать и складывать. Хотите попробовать?

Ряд Нилаканта

Нет времени возится с рядом Лейбница? Есть альтернатива. Ряд Нилаканта, хотя он немного сложнее, но позволяет быстрее получить нам искомый результат. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) … Думаю, если внимательно посмотреть на приведенный начальный фрагмент ряда, все становится ясным, и комментарии излишни. По этому идем дальше.

Метод «Монте-Карло»

Довольно интересным методом вычисления числа Пи является метод Монте Карло. Столь экстравагантное название ему досталось в честь одноименного города в королевстве Монако. И причина тому случайность. Нет, его не назвали случайно, просто в основе метода лежат случайные числа, а что может быть случайней чисел, выпадающих на рулетках казино Монте Карло? Вычисление числа Пи не единственное применение этого метода, так в пятидесятых годах его использовали при расчетах водородной бомбы. Но не будем отвлекаться.

Возьмем квадрат со стороной, равной 2r, и впишем в него круг радиусом r. Если наугад ставить точки в квадрате, то вероятность P того, что точка угодит в круг, есть отношение площадей круга и квадрата. P=S_кр/S_кв=πr²/(2r)²=π/4.

Теперь отсюда выразим число Пи π=4P. Остается только получить экспериментальные данные и найти вероятность Р как отношение попаданий в круг N_кр к попаданиям в квадрат N_кв. В общем виде расчетная формула будет выглядеть следующим образом: π=4N_кр / N_кв.

Хочется отметить, что для того, чтобы реализовать этот метод, в казино идти необязательно, достаточно воспользоваться любым более или менее приличным языком программирования. Ну а точность полученных результатов будет зависеть от количества поставленных точек, соответственно, чем больше, тем точнее. Желаю удачи 😉

Число Тау

Люди, далекие от математики, скорее всего не знают, но так сложилось, что число Пи имеет брата, который больше его в два раза. Это число Тау(τ) , и, если Пи — это отношение длины окружности к диаметру, то Тау — это отношение этой длины к радиусу. И на сегодняшний день есть предложения некоторых математиков отказаться от числа Пи и заменить его на Тау, так как это во многом более удобно. Но пока это только предложения, и как говорил Лев Давидович Ландау: «Новая теория начинает господствовать тогда, когда вымрут сторонники старой».

Длина окружности. Решение задач на длину окружности и площадь круга

Длина окружности

Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в  3,14 раза.  Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква  π  (пи):

Таким образом, длину окружности  (C)  можно вычислить, умножив константу  π  на диаметр  (D),  или умножив  π  на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:

C = πD = 2πR,

где  C  — длина окружности,  π  — константа,  D  — диаметр окружности,  R  — радиус окружности.

Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задачи на длину окружности

Задача 1. Найти длину окружности, если её диаметр равен  5 см.

Решение: Так как длина окружности равна  π  умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром  5 см  будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см).

Ответ:  15,7 см.

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен  3,5 м.

Решение: Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на  2:

D = 3,5 · 2 = 7 (м),

теперь найдём длину окружности, умножив  π  на диаметр:

C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м).

Ответ:  21,98 м.

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна  7,85 м.

Решение: Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на  2π:

следовательно, радиус будет равен:

Ответ:  1,25 м.

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен  2 см.

Решение: Так как площадь круга равна  π  умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом  2 см  будет равна:

S ≈ 3,14 · 2² = 3,14 · 4 = 12,56 (см²).

Ответ:  12,56 см².

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен  7 см.

Решение: Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на  2:

7 : 2 = 3,5 (см),

теперь вычислим площадь круга по формуле:

S = πr² ≈ 3,14 · 3,5² = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см²).

Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

Ответ:  38,465 см².

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна  12,56 м².

Решение: Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить  π,  а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:

r = √S : π ,

следовательно, радиус будет равен:

r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м).

Ответ:  2 м.

Вычисление числа Пи (π) — Maths Careers

В некотором смысле число Пи (π) действительно простое — вычисление числа Пи просто включает в себя разделение любой окружности на диаметр окружности.

С другой стороны, Пи (π) — это первое число, которое мы узнаем в школе, где мы не можем записать его как точную десятичную дробь — это загадочное число, состоящее из вечных цифр, которое очаровывало людей на протяжении тысячелетий. .

Узнаем, что можем начать записывать Pi (π) = 3.141592653589… .. но мы никогда не сможем это закончить. Пи (π) продолжается вечно и не имеет повторяющихся цифр — это то, что называется иррациональным числом. Фактически, если вы достаточно долго будете искать цифры числа Пи (π), вы сможете найти любое число, включая дату вашего рождения.

Пи (π) — тоже действительно полезное число. Он встречается повсюду в математике, а также имеет бесчисленное множество применений в инженерии и науке. Многие вещи круглые, и всякий раз, когда что-то круглое, обычно становится важным число Пи (π).Например, если инженер хочет рассчитать объем водопровода, он будет использовать следующую формулу для цилиндра:

(где радиус трубы, а высота трубы.)

Расчет числа Пи (π)

Поскольку у Pi (π) так много важных применений, нам нужно иметь возможность начать его вычисление, по крайней мере, с точностью до нескольких десятичных знаков. Кто-то должен был придумать приблизительное значение числа Пи (π), которое появляется на вашем калькуляторе — оно не было получено по волшебству!

Измерительные круги

Первый и наиболее очевидный способ вычисления числа Пи (π) — взять самый совершенный круг, который вы можете, а затем измерить его длину и диаметр, чтобы вычислить число Пи (π).Именно так поступили бы древние цивилизации, и именно так они впервые осознали, что внутри каждого круга скрыто постоянное соотношение. Проблема с этим методом заключается в точности — можете ли вы доверять своей рулетке, чтобы она показывала число Пи (π) с точностью до 10 или более десятичных знаков?

Использование многоугольников для аппроксимации числа Пи (π)

Древнегреческий математик Архимед изобрел остроумный метод вычисления аппроксимации числа Пи (π). Архимед начал с того, что вписал правильный шестиугольник внутри круга, а затем описал другой правильный шестиугольник за пределами того же круга.Затем он смог вычислить точные окружности и диаметры шестиугольников и, следовательно, смог получить грубое приближение Pi (π), разделив длину окружности на диаметр.

Затем Архимед нашел способ удвоить количество сторон своих шестиугольников. Затем он мог найти более точное приближение Pi (π), используя многоугольники с большим количеством сторон, которые были ближе к окружности. Он проделал это четыре раза, пока не использовал 96-сторонние многоугольники. Архимед точно рассчитал длину окружности и диаметр и, следовательно, мог приблизительно определить число Пи (π) между и.С тех пор дробь остается одним из самых популярных и запоминающихся приближений числа Пи (π).

Примерно через 600 лет после Архимеда китайский математик Цзу Чунчжи использовал аналогичный метод, чтобы вписать правильный многоугольник с 12 288 сторонами. Это привело к приближению числа Пи (π), которое является правильным с точностью до шести знаков после запятой. Прошло почти 600 лет, прежде чем был разработан совершенно новый метод, улучшающий это приближение.

Вычисление числа Пи (π) с использованием бесконечного ряда

Математики в конце концов обнаружили, что на самом деле существуют точные формулы для вычисления Pi (π).Единственная загвоздка в том, что каждая формула требует от вас делать что-то бесконечное количество раз. (Что имеет смысл, учитывая, что цифры числа Пи (π) продолжаются бесконечно.) Одна из удивительных вещей, которые интересуют людей в отношении числа Пи (π), заключается в том, что существует не одна формула, а большое количество разных формул для людей. учиться.

Один из самых известных и красивых способов вычисления Пи (π) — использовать серию Грегори-Лейбница:

Если вы будете продолжать этот паттерн вечно, вы сможете точно вычислить, а затем просто умножьте его на 4, чтобы получить.. Однако если вы начнете складывать первые несколько членов, вы начнете получать приближение для числа Пи (π). Проблема с серией, приведенной выше, заключается в том, что вам нужно сложить много членов, чтобы получить точное приближение Пи (π). Вам нужно сложить более 300 членов, чтобы получить число Пи (π) с точностью до двух десятичных знаков!

Еще одна серия, которая сходится быстрее, — это серия Nilakantha, которая была разработана в 15^-м -м веке. Быстрее сходится означает, что вам нужно выработать меньше терминов, чтобы ваш ответ стал ближе к Пи (π).

Nilakantha Серия:

Математики также нашли другие более эффективные ряды для вычисления Pi (π). Компьютерные программы могут складывать все больше и больше членов, вычисляя Pi (π) с необычайной степенью точности. В 2014 году мировым рекордом было то, что компьютер вычислил число Пи (π) с точностью до 13 300 000 000 000 знаков после запятой.

До появления компьютеров вычислить Пи (π) было намного сложнее. В 19 ^-м столетии Уильяму Шанксу потребовалось 15 лет, чтобы вычислить Пи (π) с точностью до 707 знаков после запятой.К сожалению, позже выяснилось, что он ошибся и был прав только с 527 десятичными знаками! Девять или десять цифр числа Пи (π), которые вы видите на своем калькуляторе, были известны, вероятно, с 1400 года.

Теперь, когда вы знаете, как вычислить Пи (π), вы всегда можете попробовать свои силы в запоминании десятичных знаков числа Пи (π). Самый последний рекорд был установлен в День Пи в 2019 году компанией Google, которая вычислила Пи с точностью до 31,4 триллиона знаков после запятой !. С другой стороны, вы можете просто использовать следующую мнемонику для изучения первых шести десятичных знаков числа Пи (π): «Как бы я хотел вычислить Пи»

Длина каждого слова соответствует цифре в Пи (π).

Статья Хейзел Льюис

Можете ли вы вычислить Пи, нарисовав круг?

Если задуматься, число Пи действительно странное.Это иррациональное число появляется в самых безумных местах. Если вы раскачиваете гирю на струне вперед-назад, там будет пи. Он всплывает в принципе неопределенности Гейзенберга, общей теории относительности Эйнштейна и взаимодействии между двумя электрическими зарядами.

Конечно, у большинства людей число Пи ассоциируется с кругами. Это понятно, так как самое основное определение числа «пи» — это отношение длины окружности к диаметру круга:

Теперь о важной части.Сегодня, как вы знаете, День числа пи. Почему сегодня? Потому что сейчас 14 марта — да, 3/14, — а 3,14 — это число пи с точностью до двух знаков после запятой. Конечно, действительное число продолжается до бесконечного числа десятичных знаков: 3,14159265359… и так далее, до бесконечности. Вот почему это называется иррациональным.

Я должен добавить, что США — почти единственное место, где используется формат даты с прямым порядком байтов месяц / день / год. Если вы выберете формат дня / месяца / года с прямым порядком байтов, то сегодня 14/3, что, очевидно, равно , а не пи.(В этом случае я предлагаю 22 июля, поскольку дробь 7/22 является довольно приличным приближением для числа Пи.)

В любом случае, мой традиционный способ празднования Дня Пи — каждый год находить новый способ вычисления числового значения числа Пи. . Я просто так делаю. Я занимаюсь этим уже довольно давно, поэтому вот некоторые из моих любимых:

У меня есть еще больше сообщений о Дне Пи. Но теперь давайте попробуем это по-новому. Давайте посмотрим, насколько близко мы сможем подойти к значению числа «Пи», нарисовав круг.

Вот как это будет работать.Вы рисуете круг. По этому кругу вы можете определить как длину окружности, так и радиус. Тогда значение пи будет равняться длине окружности, деленной на удвоенный радиус. Все просто, правда?

А что, если ваш круг не идеален? Я имею в виду, кто вообще рисует идеальные круги? Давайте представим, что этот неидеальный круг на самом деле представляет собой набор дискретных точек, соединенных отрезками линии. Если вы увеличили его часть, это могло бы выглядеть так:

Pi Day: History of Pi

Пи (π) известно уже почти 4000 лет, но даже если мы вычислим количество секунд за эти 4000 лет и вычислим π для этого количества разрядов, мы все равно будем лишь приближать его фактическое значение.Вот краткая история поиска π.

Древние вавилоняне вычислили площадь круга, взяв в 3 раза квадрат его радиуса, что дало значение пи = 3. Одна вавилонская табличка (примерно 1900–1680 гг. До н.э.) указывает значение 3,125 для π, что является более близкое приближение.

Папирус Ринда (около 1650 г. до н.э.) дает нам представление о математике Древнего Египта. Египтяне рассчитали площадь круга по формуле, которая дала приблизительное значение 3.1605 для π.

Первый расчет π был произведен Архимедом Сиракузским (287–212 до н.э.), одним из величайших математиков древнего мира. Архимед аппроксимировал площадь круга, используя теорему Пифагора, чтобы найти площади двух правильных многоугольников: многоугольника, вписанного в круг, и многоугольника, внутри которого была описана круг. Поскольку фактическая площадь круга лежит между областями вписанных и описанных многоугольников, площади многоугольников задают верхнюю и нижнюю границы площади круга.Архимед знал, что он нашел не значение π, а лишь приблизительное значение в этих пределах. Таким образом, Архимед показал, что π находится между 3 1/7 и 3 10/71.

Похожий подход использовал Зу Чунчжи (429–501), блестящий китайский математик и астроном. Цзу Чунчжи не был бы знаком с методом Архимеда, но поскольку его книга была утеряна, о его работе мало что известно. Он рассчитал, что отношение длины окружности к его диаметру составляет 355/113.Чтобы вычислить эту точность для π, он должен был начать с вписанного регулярного 24,576-угольника и выполнить длительные вычисления с использованием сотен квадратных корней с точностью до 9 знаков после запятой.

Математики начали использовать греческую букву π в 1700-х годах. Представленный Уильямом Джонсом в 1706 году, использование символа было популяризировано Леонардом Эйлером, который принял его в 1737 году.

Французский математик восемнадцатого века по имени Жорж Бюффон изобрел способ вычисления π на основе вероятности.Вы можете попробовать это сами на выставке Pi Toss в Exploratorium.

Загрузите эту статью в формате PDF.

На фото: Томас Дежорж (1786–1854), Смерть Архимеда (фрагмент), 1815. Собрание Музея искусств Музей Роджера-Кийо [MARQ], город Клермон-Ферран, Франция.

6 вещей, которые вы, вероятно, не знали о Пи

Сегодня день Пи. Знаете, 14 марта. 14 марта это что-то вроде 3.14. Понять? Хорошо, это немного натянуто, потому что 3/14 выглядит дробью, а не числом Пи. Что бы ни. Мы до сих пор называем это Днем Пи.

Даже если дата Дня Пи немного странная, Пи по-прежнему довольно крутой. Вот некоторые вещи, которые вы могли не знать о Пи.

Есть много приближений для Pi

Если у вас есть круг, вы можете измерить две вещи: расстояние по периметру круга (окружность) и расстояние по самой широкой части круга (диаметр).Независимо от того, насколько велик ваш круг, отношение длины окружности к диаметру равно числу Пи. Пи — иррациональное число — его нельзя записать в виде небесконечной десятичной дроби. Это означает, что вам нужно приблизительное значение Pi.

Простейшее приближение для числа Пи — всего 3. Да, мы все знаем, что это неверно, но оно, по крайней мере, может помочь вам начать, если вы хотите что-то сделать с кругами. Раньше во многих математических книгах для Пи было указано 22/7. Опять же, это всего лишь приближение, но оно лучше, чем значение 3 (на самом деле 22/7 ближе к Пи, чем просто запись 3.14).

Ранняя история математики охватывает множество приближений значения Пи. Наиболее распространенный метод — построить многогранный многоугольник и использовать его для вычисления периметра и диаметра в качестве оценки Pi. В других культурах были найдены способы записать Пи в виде бесконечного ряда, но без компьютера это может быть трудно вычислить очень далеко.

Вы можете вычислить несколько цифр числа Пи

Существует множество методов вычисления числа Пи, но я остановлюсь на самых простых для понимания.Он начинается с функции обратной касательной. Мы знаем, что арктангенс 1 равен π / 4, и мы можем использовать это для вычисления Pi. Нет, вы не можете просто подключить его к своему калькулятору и получить Пи — это предполагает, что вы уже знаете Пи. Вместо этого нам нужно выполнить разложение обратной касательной в ряд Тейлора.

Основная идея, лежащая в основе серии Тейлора, заключается в том, что любая функция выглядит как степенная серия, если вы просто сосредоточитесь на одной части этой функции. Используя это, я могу представить арктангенс некоторого значения (x) в виде бесконечного ряда:

Расширение этой функции вокруг точки x = 1 должно быть равно π / 4.Это означает, что для π мы получаем следующее: (примечание: фиксированное уравнение 14.03.16)

Вот и все. Теперь вы можете просто подключиться к этой формуле столько, сколько захотите — или вы можете попросить компьютер сделать это. Вот программа, которая вычисляет первые 10 000 членов ряда (просто нажмите кнопку воспроизведения, чтобы запустить ее):

Видите, это не так уж и сложно для компьютера. Однако вы можете видеть, что даже после 10 000 терминов вычисленное значение по-прежнему отличается от принятого.Это не лучший ряд для вычисления Пи, но я уже говорил об этом ранее.

Вы можете вычислить Пи со случайными числами

Это мое любимое занятие с Пи. Вот идея. Сгенерируйте пары случайных чисел от 0 до 1, чтобы создать случайные координаты x, y. Постройте эти точки на сетке 1 на 1 и вычислите их расстояние до начала координат. Некоторые из них будут иметь исходное расстояние меньше 1, а некоторые больше 1. Точки с расстоянием меньше единицы находятся «внутри круга» — на самом деле это четверть круга.Итак, подсчитывая точки внутри круга по сравнению с общим количеством очков, я получаю оценку площади этого круга, которая должна быть π / 4. Вот и все.

Пи и передаточные числа

Сопряжение. Может быть, с кем-нибудь новым и другим. Для каждого круглого предмета измерьте диаметр и окружность в сантиметрах с помощью линейки. Чтобы измерить длину окружности, один раз прокатите круглый предмет по листу бумаги и измерьте расстояние за один полный оборот.

Запишите данные в следующую таблицу:

Если диаметр объекта равен нулю, какой будет окружность? Почему?

Нанесите данные выше на график ниже.

Нахождение наклона (π!)

Проведите через точки прямую линию с помощью линейки. Вблизи правого верхнего угла графика попытайтесь найти место, где проведенная линия проходит через пересечение линий сетки графика. На диаграмме ниже показан пример. В этом примере значение x для перекрестка составляет 8 см, значение y для перекрестка — 25 см.

Используя свой собственный график, найдите пересечение, через которое проходит ваша линия.Запишите значение x для этого перекрестка и значение y для этого перекрестка. Разделите значение y на значение x, чтобы получить отношение длины окружности к диаметру. Напишите свое соотношение на доске.

Значение Y пересечения: __________
Пересечение x-значение: __________

Соотношение = y-значение x-value = ______________

Записав коэффициенты на доске, подумайте, все ли получили примерно одинаковые коэффициенты. Это отношение, представляющее собой наклон прямой, называется пи (π).Выведенная вами формула: длина окружности = пи * диаметр. Это уравнение вида y = mx, где наклон m равен pi (π).

HW : Используя коэффициенты для всего класса, рассчитайте среднее соотношение для всего класса:

Как вычислить миллион цифр числа Пи | Дон Кросс

Ряд арктангенса и математика высокой точности, с образцом кода Python

Вы когда-нибудь задумывались, как компьютеры вычисляют π с точностью до миллиона десятичных знаков? В этой статье я не только дам вам алгоритм для этого, но и объясню математику, лежащую в основе этого.Вычисляя всеобщее любимое трансцендентное число, вы также изучите общие методы высокоточной математики на Python или любом другом языке программирования, который поддерживает сколь угодно большие целые числа. Вы также узнаете несколько полезных трюков с комплексными числами. Давайте начнем.

Арктангенс

Первым шагом на пути к π является понимание функции арктангенса. Учитывая наклон линии, арктангенс вычисляет угол между этой линией и положительной осью x .Вот пример:

Линия, соединяющая начало координат с точкой (2, 1), имеет наклон 1/2 = 0,5. Напомним, что наклон — это изменение расстояния по вертикали, деленное на изменение расстояния по горизонтали. В этой строке мы должны перемещаться вверх на 1 единицу на каждые 2 единицы, которые мы перемещаем вправо. Используя командную строку Python, мы обнаруживаем, что угол между линией и положительной осью x составляет около 26,565 °:

 >>> import math 
 >>> math.degrees (math.atan (0.5)) 
 26.56505117707799 

Обычно вы вводите наклон в функцию арктангенса, и она возвращает вам соответствующий угол.

Градусы и радианы

Какое отношение имеют наклоны и углы к π? Дело в том, что углы можно измерять в радианах. Хотя плотники и инженеры используют градусы как практическую единицу измерения углов, радианы более элегантны для чистой математики. Радианы показывают, как далеко вам нужно переместиться по кругу единичного радиуса, чтобы достичь заданного угла. Если круг имеет радиус один метр, и вы путешествуете по его окружности, вам нужно переместиться на 2π = 6.283185307179… метров. Следовательно, можно сказать, что 2π радиан = 360 °. Для тех, кто хочет вычислить π, это уже становится интересным. Радианы и π идеально сочетаются друг с другом.

Наша первая попытка

Предполагая, что у нас есть некоторый алгоритм для вычисления арктангенсов, все, что нам нужно, это найти линию, наклон которой соответствует простой доле 180 ° = π радиан. Простейший возможный наклон — 1, что дает нам линию, наклоненную на 45 °, или π / 4 радиан, к горизонтали:

Это кажется идеальным! Все, что нам нужно сделать, это вычислить arctan (1), что даст нам π / 4.Умножьте результат на 4, и мы получим π.

Серия арктангенса

Следующая серия вычисляет арктангенс для любого значения x от -1 до +1 включительно, и результат выражается в радианах.

Сначала это может показаться немного устрашающим, но на это есть простой способ взглянуть. Это бесконечный ряд терминов, но каждый член становится все меньше и меньше. Каждый член в ряду имеет одинаковое нечетное число в знаменателе и показателе степени x .Члены поочередно складываются и вычитаются. Вот и все, что есть.

Итак, если теория верна, все, что нам нужно сделать, это использовать этот ряд, чтобы найти арктангенс 1, умножить результат на 4, и мы найдем π. Давайте проверим это с помощью небольшой программы на Python и посмотрим, что произойдет.

Эта программа выполняет итерацию до тех пор, пока ошибка между вычисленным значением π и правильным значением π не станет меньше одной миллионной, или 1.0e-6 в экспоненциальном представлении. Запуск этой программы преподносит нам неприятный сюрприз: очень медленно сходится! Требуется миллион итераций, прежде чем ошибка станет меньше одной миллионной.Результат выглядит следующим образом:

 n = 1, x = 4,0000000000000, ошибка = 0,858407 
 n = 3, x = 2,6666666666667, ошибка = 0,474926 
 n = 5, x = 3,4666666666667, ошибка = 0,325074 
 n = 7, x = 2,8952380952381, ошибка = 0,246355 
 n = 9, x = 3,3396825396825, ошибка = 0,19809 
 n = 11, x = 2,9760461760462, ошибка = 0,165546 
 n = 13, x = 3,2837384837385, ошибка = 0,142146 
 n = 15718170, x = 3,0170 ошибка = 0.124521 ... (удалено для краткости) ... n = 1999987, x = 3,1415916535838, ошибка = 1,00001e-06 
 n = 1999989, x = 3,1415936535948, ошибка = 1e-06 
 n = 1999991, x = 3,1415916535858, ошибка = 1e-06 
 n = 1999993, x = 3,1415936535928, ошибка = 1e-06 
 n = 1999995, x = 3,1415916535878, ошибка = 1e-06 
 n = 1999997, x = 3,1415936535908, ошибка = 1e-06 
 n = 1999999 , x = 3,1415916535898, ошибка = 1e-06 
 n = 2000001, x = 3,1415936535888, ошибка = 9.99999e-07 

После миллиона итераций наш ответ будет точен только до 5 знаков после запятой: 3,14159. Следующая цифра все еще переключается между 1 и 3 вместо того, чтобы установить правильное значение 2. Мы хотим вычислить π с точностью до миллиона цифр, но чтобы получить даже 6 цифр, требуется невероятное количество времени! Что не так?

Проблема в том, что ряд дробей 1/1, 1/3, 1/5,… не становится достаточно малым, чтобы формула могла эффективно сходиться. Даже после миллиона итераций такие числа, как 1/1999999 и 1/2000001, слишком велики.Они продолжают зигзагами взад и вперед вокруг ответа, вместо того, чтобы возвращаться к нему. Нам нужен ряд, который сходится намного быстрее, если мы когда-нибудь надеемся вычислить π с точностью до миллиона десятичных знаков. Означает ли это, что мы должны отказаться от арктангенсного подхода?

Прежде чем отказаться от формулы арктангенса, давайте еще раз взглянем на ее расширение в ряд. Мы видим, что у каждого члена есть числитель с возрастающей степенью: x ¹, x ³, x и так далее. Вместо того, чтобы устанавливать x = 1, что, если бы x было между 0 и 1? Например, если x = 0.1, тогда x ³ будет 0,001, x ⁵ будет 0,00001, x ⁷ будет 0,0000001 и т. Д. Это означает, что каждый последующий член в ряду будет очень быстро сокращаться. Это обнадеживает.

Проблема состоит в том, чтобы найти любое простое значение наклона x , где x находится между 0 и 1, чей соответствующий угол является простой долей π. Оказывается, вы напрасно будете искать любое такое число, которое можно выразить как отношение целых чисел.

Но еще не все потеряно. Вместо того, чтобы пытаться найти один арктангенс, значение которого составляет долю π, можно найти сумму или разность нескольких арктангенсов, которые имеют значение. Есть интересный прием для выполнения такого поиска и доказательства правильности полученной формулы. Это комплексные числа. (Если вы хотите узнать больше о комплексных числах, вам может пригодиться моя статья под названием «Мнимые числа для действительных».)

Комплексные числа и вращение

Существует связь между комплексными числами и углами, которая позволяет нам находить формулы для эффективного вычисления π.Когда вы умножаете два комплексных числа, произведение имеет угол, равный сумме углов множителей. Чтобы прояснить это, обращайтесь к следующей диаграмме при чтении объяснения ниже.

Комплексное число a + b i имеет угол α с положительной действительной осью. Этот угол α равен arctan ( b / a ). Это повторение того, что мы уже рассмотрели, потому что a + b i можно рассматривать как еще один способ записать точку ( a , b ).Наклон прямой от (0,0) до ( a , b ) равен b / a . Арктангенс угла наклона b / a дает нам угол, соответствующий комплексному числу ( a , b ).

То же самое и с другим комплексным числом c + d i. Его угол β = arctan ( d / c ).

Если мы умножим два комплексных числа, углы складываются. Это означает, что угол произведения ( a + b i) ( c + d i) равен α + β.

Вы можете умножить два комплексных числа, используя небольшую алгебру и помня, что i² = -1:

( a + b i) ( c + d i) = ac + ad i + до н. лучшая формула на основе арктангенса для вычисления π. Вот одна из таких формул:

Почему это работает? Давайте применим рассуждение выше о комплексных числах и умножении.Мы можем перефразировать приведенное выше уравнение следующим образом: «если вы умножите комплексное число с наклоном 1/2 на другое комплексное число с наклоном 1/3, вы получите комплексное число с углом π / 4 радиан». Давайте проверим это, чтобы убедиться, что это правда. Простое комплексное число с угловым коэффициентом 1/2 равно (2 + i). Точно так же (3 + i) имеет наклон 1/3. Умножаем 2 + i на 3 + i:

(2 + i) (3 + i) = (6–1) + (2 + 3) i = 5 + 5i

Конечно, наклон полученного комплекса число 5/5 = 1. Это дает нам угол 45 ° = π / 4 радиан.Умножение этого угла на 4 дает нам π радиан.

Если вы не уверены в умножении комплексных чисел таким способом, вы можете использовать встроенную в Python поддержку комплексных чисел для проверки своих вычислений. В Python любое число с суффиксом j рассматривается как мнимое число:

 >>> (2 + 1j) * (3 + 1j) 
 (5 + 5j) 

Теперь мы попробуем эту формулу в небольшая тестовая программа для подтверждения нашего мышления. Это всего лишь эксперимент, чтобы убедиться, что мы на правильном пути.Мы еще не считаем миллион десятичных знаков, но приближаемся. Вот код Python:

Запуск программы дает следующий результат:

 $ ./better.py 
 ArctanDenom (2) = 0.46364760
06; потребовалось 33 итерации. 
 ArctanDenom (3) = 0,321750554396642; потребовалась 21 итерация. 
 пи = 3,141592653589792, ошибка = 8,882e-16 

Это намного лучше! Теперь мы правильно вычислили π с точностью до 14 знаков после десятичной точки, в общей сложности 33 + 21 = 54 итераций.Это неплохо, но можем ли мы сделать еще лучше? Мы сможем, если найдем аналогичную формулу, в которой в качестве аргументов функции арктангенса используются дроби меньшего размера. Оказывается, существует такая формула, известная как формула Мачина:

Английский профессор астрономии Джон Мачин нашел эту замечательную формулу в 1706 году и использовал ее для вычисления числа π с точностью до 100 знаков после запятой. Это было настоящим достижением до появления вычислительной техники.

Формулу Мачина немного сложнее перефразировать, потому что есть две дополнительные тонкости:

• Дополнительный коэффициент 4 перед первым арктангенсом указывает, что комплексное число 5 + i возведено в четвертую степень.Умножение угла 5 + i на 4 — то же самое, что взятие угла комплексного числа (5 + i) ⁴.
• Второй член вычитается, а не складывается. Это означает, что мы имеем отрицательный угол в результате отрицательного наклона: –1/239. Это соответствует комплексному числу 239 – i.

Поскольку эта формула сложнее той, с которой мы сталкивались раньше, давайте перепроверим ее с помощью Python:

 >>> (5 + 1j) ** 4 * (239-1j) 
 (114244 + 114244j) 

Здесь мы используем оператор Python ** , чтобы возвести комплексное число в степень.Важной частью результата является то, что действительная часть и мнимая часть идентичны, поэтому наклон равен 1. Опять же, единичный наклон подразумевает угол π / 4 радиан. Умножение на 4 дает нам π.

Внося небольшие изменения в нашу предыдущую программу тестирования, мы снова проверяем, стоит ли беспокоиться о более сложной формуле:

И вот ее результат:

 $ ./machin.py 
 ArctanDenom (5) = 0,197395559849881; потребовалось 14 итераций. 
 ArctanDenom (239) = 0,004184076002075; потребовалось 4 итерации.
 pi = 3,141592653589794, ошибка = -8,882e-16 

Мы получаем такой же точный ответ, но с 18 итерациями вместо 54. Это означает, что компьютер получил ответ с одной третью работы. Да, дополнительная сложность более чем окупается.

Итак, теперь у нас есть подход. Мы будем использовать формулу Мачина для вычисления числа π с точностью до миллиона знаков после запятой. Остается только один вопрос: как добиться такой точности? В конце концов, числа с плавающей запятой в Python имеют точность не более чем до 16 знаков после запятой.

Использование больших целых чисел для высокой точности

Последний трюк — использовать встроенную поддержку Python для больших целых чисел для представления вещественных чисел высокой точности. (Важно: следующий код работает на Python 3, но не на Python 2.)

В отличие от чисел с плавающей запятой, целые числа в Python могут быть сколь угодно большими без потери точности. В качестве забавного примера попробуйте это в своем интерпретаторе Python 3, чтобы вычислить 2³⁰⁰:

 >>> 2 ** 300 
 2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376 

.Например, вы знаете, что 1/7 = 0,142857142857…; «142857» повторяется вечно. Предположим, мы хотим подтвердить это до 100 знаков после запятой. Вместо деления 1 на 7 с плавающей запятой мы используем целочисленное деление 10¹⁰⁰ на 7:

 >>> n = 10 ** 100 // 7 
 >>> n 
 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 len571428571428571428 (n )) 
 100 

Очень важно использовать оператор Python // для выполнения целочисленного деления.Если вы случайно используете вместо этого /, вы получите результат с плавающей запятой и потеряете всю эту дополнительную точность:

 >>> 10 ** 100/7 
 1.4285714285714286e + 99 

The Million Digit π Cruncher

Программа для вычисления π с точностью до миллиона цифр мало чем отличается от программы для проверки формулы Мачина. Есть всего несколько настроек, позволяющих использовать большие целые числа вместо чисел с плавающей запятой. Однако это требует намного больше времени.В моей системе это заняло чуть менее 27 минут:

 $ времени ./picrunch.py ​​1000000 picrunch.txt 
 ArctanDenom (5) потребовало 715346 итераций. 
 ArctanDenom (239) заняло 210228 итераций. 
 Записано в файл picrunch.txtreal 26m43.108s 
 user 26m13.032s 
 sys 0m28.568s 

Внутренне picrunch.py ​​ вычисляет дополнительные 10 цифр, а затем отбрасывает их в конце, потому что последние несколько цифр неточны. к кумулятивным ошибкам округления во всех операциях целочисленного деления.Чтобы убедиться, что все цифры верны, я сравнил с другим списком миллиона цифр числа π с помощью утилиты Linux diff .

Вот исходный код для picrunch.py ​​:

Можно вычислить π с такой точностью намного быстрее. Одним из улучшений является использование более сложных формул, которые сходятся быстрее. Другой подход — реализовать собственную высокоточную целочисленную арифметику с использованием массивов на более эффективном языке, таком как C или Fortran.

Надеюсь, вам понравился и полезен этот экскурс в высокоточное вычисление π. Я также надеюсь, что изучение сложных чисел и больших целых чисел предоставит вам дополнительные умственные инструменты, которые вдохновят вас в других областях.

Ссылки

1. В статье Википедии о формулах Мачина перечислено множество альтернативных формул, некоторые из которых намного сложнее, чем формула Мачина, но сходятся быстрее благодаря гораздо большим знаменателям в дробях арктангенса.
2. Формула Мачена и числа Пи. Намного больше деталей и исторической справки о вычислении π.

Что такое Пи? | День Пи