Клинбиз | Клининговая компания в Нижнем Новгороде | Цены на клининговые услуги и уборку

Хммм … похоже, нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам ключ к разгадке, который называется «разница квадратов». :

Потому что 4x ² равно (2x) ² , а 9 равно (3) ² ,

Итак имеем:

4x ² — 9 = (2x) ² — (3) ²

А это можно получить по формуле разности квадратов:

(a + b) (a − b) = a ² — b ²

Где a — 2x, а b — 3.

Итак, давайте попробуем это сделать:

(2x + 3) (2x − 3) = (2x) ² — (3) ² = 4x ² — 9

Да!

Таким образом, множители 4x ² — 9 равны (2x + 3) и (2x − 3) :

Ответ: 4x ² -9 = (2x + 3) (2x − 3)

Как можно этому научиться? Получив много практики и зная «Самобытность»!

Помните эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Об этом стоит помнить, так как они могут облегчить факторинг.

Подобных гораздо больше, но это самые полезные.

Совет

Факторизованная форма обычно лучше всего.

При попытке факторизации выполните следующие действия:

• «Вынести за скобки» любые общие термины
• Посмотрите, подходит ли он какой-либо из идентификационных данных, плюс еще какие-то, которые вы, возможно, знаете
• Продолжайте, пока вы больше не сможете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо справляются с факторингом.

Другие примеры

Опыт действительно помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

w ⁴ — 16 = (w ² ) ² — 4 ²

Да, это разница квадратов

w ⁴ — 16 = (w ^{2 + 4) (w 2 — 4)}

И «(w ^{2 — 4)» — еще одно отличие квадратов}

w ⁴ -16 = (w ^{2 + 4) (w + 2) (w -2)}

Это все, что я могу (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

Удалить общий множитель «3u»:

3u ⁴ — 24uv ³ = 3u (u ³ — 8v ³ )

Тогда разница кубиков:

3u ⁴ — 24uv ³ = 3u (u ³ — (2v) ³ )

= 3u (u − 2v) (u ² + 2uv + 4v ² )

Это все, что я могу.

Пример: z

Попробуйте разложить на множители первые два и вторые два по отдельности:

z ² (z − 1) — 9 (z − 1)

Вау, (z-1) есть на обоих, так что давайте воспользуемся этим:

(z ² −9) (z − 1)

А z ² −9 — разность квадратов

(г-3) (г + 3) (г-1)

Это все, что я могу.

А теперь побольше опыта:

Графические квадратные уравнения с использованием факторинга

Квадратное уравнение это многочлен уравнение степень 2 .Стандартная форма квадратного уравнения:

0 знак равно а Икс 2 + б Икс + c

куда а , б и c все реальные числа и а ≠ 0 .

Если мы заменим 0 с у , то получаем квадратичная функция

у знак равно а Икс 2 + б Икс + c

чей график будет парабола .

Точки пересечения графика Икс -оси будут решениями уравнения, а Икс 2 + б Икс + c знак равно 0 . То есть, если многочлен а Икс 2 + б Икс + c может быть учтен на ( Икс — п ) ( Икс — q ) , мы знаем по свойство нулевого продукта что если ( Икс — п ) ( Икс — q ) знак равно 0 , или ( Икс — п ) знак равно 0 или ( Икс — q ) знак равно 0 . Затем п и q являются решениями уравнения а Икс 2 + б Икс + c знак равно 0 и поэтому Икс -перехваты квадратного уравнения.

Поскольку Икс -координата вершина параболы это точно середина Икс -перехватывает , то Икс -координата вершины будет п + q 2 .

Вы можете использовать Икс -координата вершины для нахождения у -координат.

Теперь у вас есть вершина и 2 другие точки параболы (а именно, Икс -перехватывает). Вы можете использовать эти три точки для построения графика.

Пример 1:

Постройте график функции у знак равно Икс 2 — 8 Икс + 12 с использованием факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой, у знак равно а Икс 2 + б Икс + c . Поскольку значение а положительный, парабола открывается.

Разложите на множители трехчлен, Икс 2 — 8 Икс + 12 . Идентифицировать 2 числа, сумма которых — 8 и продукт 12 .Цифры — 2 и — 6 . Это, Икс 2 — 8 Икс + 12 знак равно ( Икс — 2 ) ( Икс — 6 ) .

Икс 2 — 8 Икс + 12 знак равно 0 ⇒ ( Икс — 2 ) ( Икс — 6 ) знак равно 0

Итак, по свойству нулевого продукта либо ( Икс — 2 ) знак равно 0 или ( Икс — 6 ) знак равно 0 . Тогда корни уравнения равны 2 и 6 .

Следовательно Икс -перехваты функции 6 и 2 .

В Икс -координата вершины — это середина х-точек пересечения. Итак, вот Икс -координата вершины будет 2 + 6 2 знак равно 4 .

Заменять Икс знак равно 4 в уравнении у знак равно Икс 2 — 8 Икс + 12 найти у -координата вершины.

у знак равно ( 4 ) 2 — 8 ( 4 ) + 12 знак равно 16 — 32 + 12 знак равно — 4

То есть координаты вершины равны ( 4 , — 4 ) .

Теперь у нас 3 очка ( 4 , — 4 ) , ( 2 , 0 ) и ( 6 , 0 ) которые находятся на параболе. Нанесите точки. Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

Пример 2:

Постройте график функции у знак равно — Икс 2 — 2 Икс + 8 с использованием факторинга.

Сравните уравнение со стандартной формой, у знак равно а Икс 2 + б Икс + c . Поскольку значение а положительный, парабола открывается.

Разложите на множители трехчлен, — Икс 2 — 2 Икс + 8 .

Во-первых, фактор вне — 1 .

— Икс 2 — 2 Икс + 8 знак равно — 1 ( Икс 2 + 2 Икс — 8 )

Разложите выражение на множители в скобках. Идентифицировать 2 числа, сумма которых 2 и продукт — 8 .Цифры 4 и — 2 . Это, Икс 2 + 2 Икс — 8 знак равно ( Икс + 4 ) ( Икс — 2 ) .

Тогда данная функция принимает вид у знак равно — ( Икс + 4 ) ( Икс — 2 ) .

Так, у знак равно 0 следует из свойства нулевого продукта, Икс + 4 знак равно 0 или Икс — 2 знак равно 0 .

Следовательно Икс -перехваты графика — 4 и 2 .

В Икс -координата вершины параболы — середина Икс -перехватывает.Итак, вот Икс -координата вершины будет — 4 + 2 2 знак равно — 1 .

Заменять Икс знак равно — 1 в уравнении у знак равно — Икс 2 — 2 Икс + 8 найти у -координата вершины.

у знак равно — ( — 1 ) 2 — 2 ( — 1 ) + 8 знак равно — 1 + 2 + 8 знак равно 9

Итак, координаты вершины равны ( — 1 , 9 ) .

Теперь у нас есть 3 точки ( — 1 , 9 ) , ( — 4 , 0 ) и ( 2 , 0 ) которые находятся на параболе. Нанесите точки. Соедините их плавной кривой и продолжите параболу.

Триномиальное разложение на множители: квадратный метод — ChiliMath

Факторинг с использованием метода «ящика» или «сетки» является отличной альтернативой факторингу трехчлена методом группирования, когда ведущий коэффициент a не равен 1 или -1.2} + bx + c должно быть 1 .

Шаги по разложению тринома на множители с использованием «квадратного» метода

Шаг 1 : Умножьте старший коэффициент и постоянный член (число без переменной).

Шаг 2 : Найдите два числа , такие, что произведение равно a · c , а сумма равна среднему коэффициенту b . Пусть « n » и « m » будут двумя числами, удовлетворяющими двум условиям.

Шаг 3 : Создайте сетку 2 × 2 и поместите следующие члены в правые поля:

• Поместите первый член в верхнее левое поле.
• Поместите постоянный член в нижнее правое поле.
• Поместите числа, найденные на шаге 2, в оставшиеся пустые поля. На этот раз неважно, где вы их разместите. Убедитесь, что вы добавили переменную x к каждому числу.

Шаг 4 : Найдите наибольший общий делитель в каждой строке и столбце.2} — 5x — 4 методом «коробки».

Начните с умножения ведущего коэффициента и постоянного члена.

\ влево (6 \ вправо) \ влево ({- 4} \ вправо) = — 24

Найдите пару факторов –24, так что сумма равна среднему коэффициенту, равному –5. Вы можете методом проб и ошибок выяснить это. Если вы все сделали правильно, у вас должны быть два числа −8 и 3, потому что

(–8) (3) = –24

(–8) + (3) = –5

Далее мы собираемся заполнить поле.2} — 18x + 9 методом «коробки».

Произведение главного коэффициента и постоянного члена равно (5) (9) = 45. Можете ли вы найти два числа, произведение которых равно 45, а сумма будет средним коэффициентом, равным −18?

Если задуматься, у двух чисел должны быть одинаковые знаки. Это означает, что они должны быть как положительными, так и отрицательными. Если сложить два положительных числа, сумма будет положительной. Нам не нужен этот вариант, поскольку мы хотим, чтобы сумма была отрицательной.

Это оставляет нам второй вариант: оба числа должны быть отрицательными.После проб и ошибок числа, которые могут удовлетворять двум условиям, равны −3 и −15. Так как,

\ влево ({- 3} \ вправо) \ влево ({- 15} \ вправо) = 45

\ left ({- 3} \ right) + \ left ({- 15} \ right) = — 18

Вот наша коробка с терминами в нужных местах.

Определите наибольший общий множитель (GCF) каждой строки и столбца. Не забудьте поставить знак ближайшего термина в рамке, которая находится либо справа от него, либо под ним.

Коэффициенты берутся по краям сетки.2} — 18x + 9 = \ влево ({5x — 3} \ вправо) \ влево ({x — 3} \ вправо)

Возможно, вас заинтересует:

Трехчлен разложения на множители, где a = 1
Трехчлен разложения на множители, где a> 1

Триномиальное разложение на множители — Метод и примеры

Владение алгеброй — ключевой инструмент в понимании и усвоении математики. Для тех, кто стремится повысить свой уровень в изучении алгебры, факторинг является фундаментальным навыком , необходимым для решения сложных задач, связанных с многочленами.

Факторинг используется на каждом уровне алгебры для решения многочленов, построения графиков функций и упрощения сложных выражений.

Как правило, факторизация — это операция, обратная раскрытию выражения.

Например, 3 (x — 2) является факторизованной формой 3x — 6, а (x — 1) (x + 6) является факторизованной формой x ² + 5x — 6. В то время как расширение сравнительно это простой процесс, факторинг — немного сложная задача, и поэтому студент должен практиковать различные типы факторизации, чтобы получить навыки их применения.

Если есть какой-либо урок алгебры, который вызывает недоумение у многих студентов, то это тема факторизации трехчленов.

Эта статья поможет вам шаг за шагом понять, как решать проблемы, связанные с факторингом трехчленов. Следовательно, иллюзия того, что эта тема является самой сложной, будет вашей историей прошлого.

Вы узнаете, как разложить на множители все виды трехчленов, в том числе те, у которых старший коэффициент равен 1, и те, у которых старший коэффициент не равен 1.

Прежде чем мы начнем, полезно вспомнить следующие термины:

Коэффициент — это число, которое делит другое данное число, не оставляя остатка . У каждого числа есть коэффициент, который меньше или равен самому числу.

Например, множители числа 12 сами по себе равны 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Мы можем заключить, что все числа имеют множитель 1, и каждое число является множителем само по себе.

До изобретения электронных и графических калькуляторов факторизация была самым надежным методом нахождения корней полиномиальных уравнений .

Хотя квадратные уравнения давали решения, которые были более прямыми по сравнению со сложными уравнениями, они были ограничены только для
полиномов второй степени.

Факторинг позволяет нам переписать многочлен в более простые множители , и, приравняв эти множители к нулю, мы можем определить решения любого полиномиального уравнения.

Существует нескольких методов факторизации полиномов . В этой статье основное внимание будет уделено тому, как разложить на множители различные типы трехчленов, например трехчлены с ведущим коэффициентом, равным 1, и с ведущим коэффициентом, не равным 1.

Прежде чем мы начнем, мы должны ознакомиться со следующими условиями.

Общий множитель определяется как число, которое можно разделить на два или более разных числа, не оставляя остатка.

Например, общие множители чисел 60, 90 и 150 равны; 1, 2, 3,5, 6,10, 15 и 30.

• • Наибольший общий коэффициент (GCF)

Наибольший общий делитель чисел — это наибольшее значение множителей данных чисел . Например, учитывая общие множители 60, 90 и 150: 1, 2, 3,5, 6,10, 15 и 30, поэтому наибольший общий множитель равен 30.

GCF. для трехчлена — это наибольший одночлен, который делит каждый член трехчлена. Например, чтобы найти GCF выражения 6x ⁴ — 12x ³ + 4x ² , мы применяем следующие шаги:

• Разбиваем каждый член трехчлена на простые множители.

(2 * 3 * x * x * x * x) — (2 * 2 * 3 * x * x * x) + (2 * 2 * x * x)

• Ищите факторы, которые появляются в каждом один термин выше.

Вы можете обвести или раскрасить множители следующим образом:

(2 * 3 * x * x * x * x) — (2 * 2 * 3 * x * x * x) + (2 * 2 * x * x )

Следовательно, GCF для 6x ⁴ — 12x ³ + 4x ² равно 2x ²

Полином — это алгебраическое выражение, содержащее более двух членов, таких как переменные и числа , обычно объединены операциями сложения или вычитания.

Примеры многочленов: 2x + 3, 3xy — 4y, x² — 4x + 7 и 3x + 4xy — 5y.

Трехчлен — это алгебраическое уравнение, состоящее из трех членов и обычно имеющее форму ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты. Число «a» называется старшим коэффициентом и не равно нулю (a 0).

Например, x² — 4x + 7 и 3x + 4xy — 5y являются примерами трехчленов. С другой стороны, бином — это алгебраическое выражение, состоящее из двух членов. Примеры биномиального выражения включают; x + 4, 5 — 2x, y + 2 и т. д.

Фактор трехчлена означает разложение уравнения на произведение двух или более биномов.Это означает, что мы перепишем трехчлен в виде (x + m) (x + n).

Ваша задача определить значение m и n. Другими словами, мы можем сказать, что факторизация трехчлена — это процесс, обратный методу фольги.

Как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом 1

Давайте рассмотрим следующие шаги, чтобы разложить множители x ² + 7x + 12:

• Сравнение x ² + 7x + 12 со стандартной формой ax ² + bx + c, получаем, a = 1, b = 7 и c = 12
• Найдите парные множители c, сумма которых равна b.Парный множитель 12 равен (1, 12), (2, 6) и (3, 4). Следовательно, подходящей парой является 3 и 4.
• В отдельных скобках добавьте каждое число пары к x, чтобы получить (x + 3) и (x + 4).
• Запишите два бинома рядом, чтобы получить результат с разложением;

(х + 3) (х + 4).

Как разложить на множители трехчлены с помощью GCF?

Чтобы разложить на множители трехчлен с ведущим коэффициентом, не равным 1, мы применяем концепцию наибольшего общего множителя (GCF) как , показанную на шагах ниже:

• Если трехчлен находится в неправильном порядке, перепишите это в порядке убывания, от наибольшей к наименьшей степени.
• Вынесите GCF за скобки и не забудьте включить его в свой окончательный ответ.
• Найдите произведение старшего коэффициента «a» и константы «c».
• Перечислите все факторы произведения a и c из шага 3 выше. Определите комбинацию, которая в сумме даст число рядом с x.
• Перепишите исходное уравнение, заменив термин «bx» на коэффициенты, выбранные на шаге 4.
• Разложите уравнение на множители, сгруппировав его.

Подводя итог этому уроку, мы можем разложить на множители трехчлен вида ax ² + bx + c, применив любую из этих пяти формул:

• a ² + 2ab + b ² = (a + б) ² = (a + b) (a + b)
• a ² — 2ab + b ² = (a — b) ² = (a — b) (a — b)
• a ² — b ² = (a + b) (a — b)
• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² — ab + b ² )
• a ³ — b ³ = (a — b) (a ² + ab + b ² )

Давайте теперь разложим на множители пару примеров трехчленных уравнений.

Пример 1

Фактор 6x ² + x — 2

Решение

GCF = 1, поэтому это бесполезно.

Умножьте старший коэффициент a на константу c.

⟹ 6 * -2 = -12

Перечислите все множители 12 и определите пару, которая имеет произведение -12 и сумму 1.

⟹ — 3 * 4

⟹ -3 + 4 = 1

Теперь перепишите исходное уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями

⟹ 6x ² — 3x + 4x — 2

Разложите выражение на множители путем группировки.

⟹ 3x (2x — 1) + 2 (2x — 1)

⟹ (3x + 2) (2x — 1)

Пример 2

Фактор 2x ² — 5x — 12.

Решение

2x ² — 5x — 12

= 2x ² + 3x — 8x — 12

= x (2x + 3) — 4 (2x + 3)

= (2x + 3 ) (x — 4)

Пример 3

Фактор 6x ² -4x -16

Решение

GCF для 6, 4 и 16 равно 2.

Вынести за скобки ЗКФ.

6x ² — 4x — 16 ⟹ 2 (3x ² — 2x — 8)

Умножьте старший коэффициент «a» на константу «c».

⟹ 6 * -8 = — 24

Определите парные множители 24 и сумму -2. В данном случае факторы 4 и -6.

⟹ 4 + -6 = -2

Перепишите уравнение, заменив член «bx» выбранными множителями.

2 (3x ² — 2x — 8) ⟹ 2 (3x ² + 4x — 6x — 8)

Сгруппируйте множители и не забудьте включить GCF в свой окончательный ответ.

⟹ 2 [x (3x + 4) — 2 (3x + 4)]

⟹ 2 [(x — 2) (3x + 4)]

Пример 4

Фактор 3x ³ — 3х ² — 90х.

Решение

Поскольку GCF = 3x, множите его;

3x ³ — 3x ² — 90x ⟹3x (x ² — x — 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

⟹ 3x [(x ² — 6x) + (5x — 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

= 3x (x — 6) (x + 5)

Пример 5

Фактор 6z ² + 11z + 4.

Решение

6z ² + 11z + 4 ⟹ 6 z ² + 3 z + 8 z + 4

⟹ (6 z ² + 3 z ) + (8 z + 4)

⟹ 3z (2z + 1) + 4 (2z + 1)

= (2 z + 1) (3 z + 4)

Разложите на множители каждое из следующих трехчленов.

1. x ² + 5x + 6
2. x ² + 10x + 24
3. x ² + 12x + 27
4. x ² + 15x + 5
5. x ² + 19x + 60
6. x ² + 13x + 40
7. x ² — 10x + 24
8. x ² — 23x + 42
9. x ² — 17x + 16
10. x ² — 21x + 90
11. x ² — 22x + 117
12. x ² — 9x + 20
13. x ² + x — 132
14. x ² + 5x — 104
15. y ² + 7y — 144

Ответы

1. (x + 3) (x + 2)
2. (x + 6) (x + 4)
3. (x + 9) (x + 3)
4. (x + 8 ) (x + 7)
5. (x + 15) (x + 4)
6. (x + 8) (x + 5)
7. (x — 6) (x — 4)
8. (x — 21) ( x — 2)
9. (x — 16) (x — 1)
10. (x — 15) (x — 6)
11. (x — 13) (x — 9)
12. (x — 5) (x — 4)
13. (x + 12) (x — 11)
14. (x + 13) (x — 8)
15. (y + 16) (y — 9)

Алгебра — факторинг многочленов

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-5: Факторинг многочленов

Из всех тем, затронутых в этой главе, разложение многочленов, вероятно, является наиболее важной темой.В последующих главах есть много разделов, в которых первым шагом будет факторизация многочлена. Итак, если вы не можете разложить многочлен на множители, вы не сможете даже начать задачу, не говоря уже о ее завершении.

Давайте начнем с того, что немного поговорим о том, что такое факторинг. Факторинг — это процесс, с помощью которого мы определяем, что мы умножили, чтобы получить заданное количество. Мы все время делаем это с числами. Например, вот несколько способов множителя 12.

Есть еще много возможных способов множителя 12, но они репрезентативны для многих из них.

Общий метод разложения чисел на множители состоит в том, чтобы полностью разложить числа на положительные простые множители. Простое число — это число, единственные положительные делители которого равны 1 и самому себе. Например, 2, 3, 5 и 7 являются примерами простых чисел. Примеры непростых чисел: 4, 6 и 12, чтобы выбрать несколько.

Если мы полностью разложим число на положительные простые множители, будет только один способ сделать это. Это причина такого факторинга.Для нашего примера выше с 12 полная факторизация:

Факторинг многочленов выполняется примерно таким же образом. Мы определяем все члены, которые были перемножены, чтобы получить заданный многочлен. Затем мы пытаемся разложить на множители каждый из терминов, найденных на первом этапе. Это продолжается до тех пор, пока мы больше не сможем принимать во внимание факторы. Когда мы больше не сможем разложить на множители, мы скажем, что полином полностью разложен на множители.2} + 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ left ({x — 2} \ right) \]

Цель этого раздела — познакомиться со многими методами разложения многочленов на множители.

Наибольший общий коэффициент

Первый метод разложения полиномов на множители — это разложение на множители наибольшего общего множителя . При факторинге в целом это также будет первое, что мы должны попробовать, поскольку это часто упрощает проблему.

Чтобы использовать этот метод, все, что мы делаем, — это просматриваем все термины и определяем, есть ли фактор, общий для всех терминов.Если есть, мы вычленим его из полинома. Также обратите внимание, что в этом случае мы действительно используем только закон распределения в обратном порядке. Помните, что согласно закону о дистрибьюции