Калейдоскоп формул для пи
Калейдоскоп формул для пи«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть “геометрическое” число $\pi$. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.
Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой.»
— из интервью И. М. Гельфанда
«Калейдоскоп» ниже состоит из нескольких «алгебраических» формул для $\pi$ с краткими комментариями. Он также опубликован (с сокращениями) в журнале «Квант» (№5 за 2020 год).
1. Формула Виета
Одна из первых алгебраических формул для $\pi$ — это открытое в XVI веке Виетом бесконечное произведение $$ \frac\pi2=\frac2{\sqrt2}\cdot\frac2{\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot\frac2{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}\cdot\ldots $$ Это равенство не очень сложно доказать. Идея состоит в следующем.2$ (последнее равенство — это, по сути, основная теорема арифметики). Более серьезное обсуждение вопроса можно найти, например, в книге «Введение в теорию чисел» Харди и Райта.
4. Формула Валлиса
Если подставить $x=\pi/2$ в разложение Эйлера синуса в бесконечное произведение, то получается равенство $$ \frac\pi2= \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot\ldots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot\ldots} $$ Впрочем, Джон Валлис нашел эту формулу уже в середине XVII века, почти за 100 лет до формулы Эйлера, вычисляя некоторые интегралы.
В упоминавшейся выше статье Ягломов при помощи элементарной тригонометрии доказывается и формула Валлиса. А J. Wästlund нашел и доказательство (в духе «геометрического суммирования»), непосредственно связывающее произведение Валлиса с площадью круга — см. его статью (AMM, 2007) или лекцию Д. Кнута.
При помощи формулы Валлиса можно доказать, что если подкинуть монету $2n$ раз, то вероятность того, что орлов и решек выпадет в точности поровну, приблизительно равна $1/\sqrt{\pi n}$. наверх
Функция ПИ — Служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ПИ в Microsoft Excel.
Описание
Синтаксис
ПИ()
У функции ПИ нет аргументов.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Данные | |||
|---|---|---|---|
|
Радиус |
|||
|
3 |
|||
|
|
Описание |
Результат |
|
|
=ПИ() |
Возвращает число «пи».2) |
Площадь круга с радиусом, указанным в ячейке A3. |
28,27433388 |
Число Пи — значение, история, кто придумал
Все окружности похожи
Если сравнить окружности отличных друг от друга размеров, то можно заметить следующее: размеры разных окружностей пропорциональны. А это значит, что при увеличении диаметра окружности в некоторое количество раз, увеличивается и длина этой окружности в такое же количество раз. Математически это записать можно так:
| C1 | C2 | ||
| = | |||
| d1 | d2 | (1) |
где C1 и С2 – длины двух разных окружностей, а d1 и d2 – их диаметры.
Это соотношение работает при наличии коэффициента пропорциональности – уже знакомой нам константы π. Из отношения (1) можно сделать вывод: длина окружности C равна произведению диаметра этой окружности на независящий от окружности коэффициент пропорциональности π:
C = πd.
Также эту формулу можно записать в ином виде, выразив диаметр d через радиус R данной окружности:
С = 2πR.
Как раз эта формула и является проводником в мир окружностей для семиклассников.
Еще с древности люди пытались установить значение этой константы. Так, например, жители Месопотамии вычисляли площадь круга по формуле:
| C2 | |||
| S | = | , | |
| 12 |
где S – площадь круга, C – длина окружности (круга). Если в эту формулу подставить уже знакомые школьнику выражения площади круга S = πr2 и длины окружности С = 2 πR, то мы получим:
| (2πR)2 | ||
| πR2 | = | |
, откуда π = 3.
В древнем Египте значение для π было точнее. В 2000-1700 годах до нашей эры писец, именуемый Ахмесом, составил папирус, в котором мы находим рецепты разрешения различных практических задач. Так, например, для нахождения площади круга он использует формулу:
| 8 | 2 | |||||
| S | = | d | ) | |||
| 9 |
Из каких соображений он получил эту формулу? – Неизвестно. Вероятно, на основе своих наблюдений, впрочем, как это делали и другие древние философы.
По стопам Архимеда
— Какое из двух числе больше 22/7 или 3.14 ?
— Они равны.
— Почему ?
— Каждое из них равно π.
А. А. Власов. Из Экзаменационного билета.
Некоторы полагают, что дробь 22/7 и чисо π тождественно равны. Но это является заблуждением. Помимо вышеприведенного неверного ответа на экзамене (см. эпиграф) к этой группе можно также добавить одну весьма занимательную головоломку. Задание гласит: «переложите одну спичку так, чтобы равенство стало верным».
Решение будет таковым: нужно образовать «крышу» для двух вертикальных спичек слева, используя одну из вертикальных спичек в знаменателе справа. Получится визуальное изображение буквы π.
Многие знают, что приближение π = 22/7 определил древнегреческий математик Архимед. В честь этого часто такое приближение называют «Архимедовым» числом. Архимеду удалось не только установить приближенное значение для π, но также найти точность этого приближения, а именно – найти узкий числовой промежуток, которому принадлежит значение π. В одной из своих работ Архимед доказывает цепь неравенств, которая на современный лад выглядела бы так:
| 10 | 6336 | 14688 | 1 | |||||||||
| 3 | < | < | π | < | < | 3 | ||||||
| 71 | 1 | 1 | 7 | |||||||||
| 2017 | 4673 | |||||||||||
| 4 | 2 | |||||||||||
можно записать проще: 3,140 909 < π < 3,1 428 265…
Как видим из неравенств, Архимед нашел довольно-таки точное значение с точностью до 0,002. Самое удивительно то, что он нашел два первых знака после запятой: 3,14… Именно такое значение чаще всего мы используем в несложных расчетах.
Практическое применение
Едут двое в поезде:
− Вот смотри, рельсы прямые, колеса круглые.
Откуда же стук?
− Как откуда? Колеса-то круглые, а площадь
круга пи эр квадрат, вот квадрат-то и стучит!
Как правило, знакомятся с этим удивительным числом в 6-7 классе, но более основательно им занимаются к концу 8-го класса. В этой части статьи мы приведем основные и самые важные формулы, которые пригодятся вам в решении геометрических задач, только для начала условимся принимать π за 3,14 для удобства подсчета.
Пожалуй, самая известная формула среди школьников, в которой используется π, это – формула длины и площади окружности. Первая – формула площади круга – записывается так:
где S – площадь окружности, R – ее радиус, D – диаметр окружности.
Длина окружности, или, как ее иногда называют, периметр окружности, вычисляют по формуле:
С = 2 πR = πd,
где C – длина окружности, R – радиус, d – диаметр окружности.
Понятно, что диаметр d равен двум радиусам R.
Из формулы длины окружности можно легко найти радиус окружности:
| C | C | ||
| R= | = | ||
| 2π | d |
Обозначения для этих формул остаются те же.
Диаметр окружности можно найти по формуле:
где D – диаметр, С – длина окружности, R – радиус окружности.
Это базовые формулы, знать которые должен каждый ученик. Также иногда приходится вычислять площадь не всей окружности, а только ее части – сектора. Поэтому представляем вам её – формулу для вычисления площади сектора окружности. Выглядит она так:
| α | |||
| S | = | πR2 | |
| 360˚ |
где S – площадь сектора, R – радиус окружности, α – центральный угол в градусах.
Такое загадочное 3,14
И правда, оно загадочно. Потому что в честь этих магических цифр устраивают праздники, снимают фильмы, проводят общественные акции, пишут стихи и многое другое.
Например, в 1998 году вышел фильм американского режиссера Даррена Аронофски под названием «Пи». Фильм получил множество наград.
Каждый год 14 марта в 1:59:26 люди, интересующиеся математикой, празднуют «День числа Пи». К празднику люди подготавливают круглый торт, усаживаются за круглый стол и обсуждают число Пи, решают задачи и головоломки, связанные с Пи.
Вниманием это удивительное число не обошли и поэты, неизвестный написал:
Надо только постараться и запомнить всё как есть – три, четырнадцать, пятнадцать, девяносто два и шесть.
Давайте развлечемся!
Вашему вниманию предлагаются интересные ребусы с числом Пи. Разгадайте слова, какие зашифрованы ниже.
1. π р
2. π L
3. π k
Ответы: 1. Пир; 2. Надпил; 3. Писк.
Число Пи — справочные материалы
Чему равно число Пи
Как запомнить число Пи
Число Пи в Excel
Число Пи на клавиатуре и в Word
Фотографии числа Пи
DAX функции SQRT, POWER, ABS, SIGN, EXP, FACT, LN, LOG, PI в Power BI и Power Pivot
Содержание статьи: (кликните, чтобы перейти к соответствующей части статьи):
Приветствую Вас, дорогие друзья, с Вами Будуев Антон. В данной статье мы рассмотрим ряд простейших математических функций языка DAX: SQRT (квадратный корень), POWER (возведение в степень), ABS (абсолютное значение), SIGN (знак числа), EXP (E в степени), FACT (факториал), LN, LOG, LOG10 (логарифмы), PI (число Пи), RAND, RANDBETWEEN (случайные числа), RADIANS (радианы) в Power BI и PowerPivot.
Для Вашего удобства, рекомендую скачать «Справочник DAX функций для Power BI и Power Pivot» в PDF формате.
Если же в Ваших формулах имеются какие-то ошибки, проблемы, а результаты работы формул постоянно не те, что Вы ожидаете и Вам необходима помощь, то записывайтесь в бесплатный экспресс-курс «Быстрый старт в языке функций и формул DAX для Power BI и Power Pivot».
А также, подписывайтесь на наши социальные сети. Потому что именно в них, Вам будут доступны оперативно и каждый день наши актуальные фишки, секреты, наработки, примеры, кейсы, полезные советы, видео и статьи по темам сквозной BI аналитики (Power BI, DAX, Power Pivot, Excel…): Вконтакте, Инстаграм, Фейсбук, YouTube.
DAX функция SQRT в Power BI и Power Pivot
SQRT () — функция квадратного корня из числа.
Синтаксис:
SQRT (Число)
Где, число — числовое значение или столбец, содержащий числовые значения.
Пример формулы на основе DAX функции SQRT:
Мера = SQRT (4)
Результатом выполнения этой формулы с участием SQRT будет значение, равное 2:
DAX функция POWER
POWER () — возводит число в степень.
Синтаксис:
POWER (Число; Степень)
Где:
- число — числовое значение или столбец, содержащий числовые значения
- степень — число необходимой степени
Пример формулы на основе DAX функции POWER:
Мера = POWER (2; 2)
Результатом выполнения этой формулы (2 в степени 2) с участием функции POWER будет значение, равное 4:
DAX функция ABS в Power BI и Power Pivot
ABS () — функция абсолютного значения числа. Иначе говоря, преобразует отрицательное число в положительное.
Синтаксис:
ABS (Число)
Где, число — числовое значение или столбец, содержащий числовые значения.
Пример формулы на основе DAX функции ABS:
Мера = ABS (-5)
Результатом выполнения этой формулы с участием функции ABS будет положительное значение, равное 5:
DAX функция SIGN в Power BI и Power Pivot
SIGN () — возвращает знак числа в столбце или числа, получившегося в результате вычисления выражения. Значение 1 соответствует положительному числу, значение 0 соответствует нулю и -1 соответствует отрицательному числу.
Синтаксис:
SIGN (Число)
Где, число — числовое значение или столбец, содержащий числовые значения.
Примеры формул на основе DAX функции SIGN:
Мера 1 = SIGN (-5) Мера 2 = SIGN (0) Мера 3 = SIGN (5)
Результатом выполнения этих формул с участием функции SIGN будут 3 значения -1 (соответствует отрицательному значению), 0 (соответствует нулевому значению), 1 (соответствует положительному значению):
DAX функция EXP в Power BI и Power Pivot
EXP () — возводит число E (2,71828182845904) в нужную степень.
Синтаксис:
EXP (Степень)
Где, степень — числовое значение или столбец, содержащий числовые значения нужной степени
Пример формулы на основе DAX функции EXP:
Мера = EXP (2)
Результатом выполнения этой формулы с участием функции EXP будет значение, равное 7.39 (2,71828182845904 в степени 2):
DAX функция FACT в Power BI и Power Pivot
FACT () — факториал числа (произведение последовательности целых чисел начиная с 1 и до указанного числа).
Синтаксис:
FACT (Число)
Где, число — числовое значение или столбец, содержащий числовые значения, указывающее для какого числа производить факториал.
Пример формулы на основе DAX функции FACT:
Мера = FACT (3)
Результатом выполнения этой формулы с участием функции FACT будет значение, равное 6 (произведение ряда последовательных чисел 1*2*3):
DAX функции LN, LOG, LOG10 в Power BI и Power Pivot
LN () — вычисляет натуральный логарифм числа по константе E (2,71828182845904)
LOG () — вычисляет логарифм числа по заданному в параметре функции основанию.
LOG10 () — вычисляет логарифм числа по основанию 10.
Синтаксис:
LN (Число) LOG (Число; Основание) LOG10 (Число)
Примеры формул на основе DAX функций LN, LOG и LOG10:
Мера 1 = LN (3) Мера 2 = LOG (4; 2) Мера 3 = LOG10 (7)
Результатом выполнения этих формул с участием функций LN, LOG и LOG10 будут значения, равные 1.1, 2, 1:
DAX функция PI в Power BI и Power Pivot
PI () — возвращает значение Пи (3,14159265358979)
Синтаксис:
PI ()
DAX функции RAND и RANDBETWEEN в Power BI и Power Pivot
RAND () — возвращает случайное число от 0 до 1 или равное 0.
RANDBETWEEN () — возвращает случайное число между двумя числами, прописанными в параметрах функции.
Синтаксис:
RAND () RANDBETWEEN (Число от; Число до)
Где, числа «от» и «до» — это числа, между которыми возвратится случайное число в Power BI.
Примеры формул случайных чисел на основе DAX функций RAND и RANDBETWEEN:
Мера 1 = RAND () Мера 2 = RANDBETWEEN (10; 30)
В итоге, RAND и RANDBETWEEN возвратили случайные числа 0.31 и 16:
DAX функция RADIANS в Power BI и Power Pivot
RADIANS () — преобразует градусы в радианы.
Синтаксис:
RADIANS (Значение угла)
Где, значение угла — угол в градусах, который необходимо преобразовать в радианы.
Пример формулы на основе DAX функции RADIANS:
Мера = RADIANS (4)
Результатом выполнения этой формулы с участием функции RADIANS будет значение, равное 0.07:
На этом, с разбором математических функций языка DAX: SQRT (квадратный корень), POWER (возведение в степень), ABS (абсолютное значение), SIGN (знак числа), EXP (E в степени), FACT (факториал), LN, LOG, LOG10 (логарифмы), PI (число Пи), RAND, RANDBETWEEN (случайные числа), RADIANS (радианы) в Power BI и PowerPivot, все.
Пожалуйста, оцените статью:
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
Успехов Вам, друзья!
С уважением, Будуев Антон.
Проект «BI — это просто»
Если у Вас появились какие-то вопросы по материалу данной статьи, задавайте их в комментариях ниже. Я Вам обязательно отвечу. Да и вообще, просто оставляйте там Вашу обратную связь, я буду очень рад.
Также, делитесь данной статьей со своими знакомыми в социальных сетях, возможно, этот материал кому-то будет очень полезен.
Понравился материал статьи?
Добавьте эту статью в закладки Вашего браузера, чтобы вернуться к ней еще раз. Для этого, прямо сейчас нажмите на клавиатуре комбинацию клавиш Ctrl+D
Формулы приведения. Бесплатный видеоурок — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Применять формулы приведения — легко! Их не надо зубрить наизусть. И не надо тащить на экзамен шпаргалки, рискуя спалиться. Надо всего лишь запомнить два правила, о которых вы узнаете, посмотрев этот ролик. Это так просто, что даже лошадка поймет! 🙂 Посмотри и передай друзьям.
Часто в задачах встречаются выражения вида а также или — то есть такие, где к аргументу прибавляется нечетное число, умноженное на или целое число, умноженное на Они упрощаются с помощью формул приведения.
Запомните: формулы приведения, от слова «привести». К привидениям, то есть к призракам и прочим глюкам, эти формулы отношения не имеют : -)
Эти формулы называются так потому, что с их помощью можно привести выражения к более простым.
Например,
Зубрить наизусть формулы приведения не нужно. Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов.
1) Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из него) — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция меняется на кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.
Если же мы прибавляем или вычитаем — в общем, то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию не меняется.
Это легко запомнить. Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».
Это первая часть правила. Теперь вторая.
2) Знак получившегося выражения такой же, каким будет знак тригонометрической функции в левой его части, при условии, что аргумент мы берем из первой четверти.
Упростим, например, выражение Функция меняется на кофункцию — и в результате получится синус. Взяв x из первой четверти и прибавив к нему попадем во вторую четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, получится
Посмотрим, как формулы приведения применяются в задачах ЕГЭ по математике.
1. Найдите значение выражения:
2. Вычислите:
3. Вычислите:
Мы упростили выражения в скобках.
4. Найдите значение выражения:
5. Упростите выражение:
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Март, четырнадцатое. Как вычислить число Пи
Еще в древности люди заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру близко к трем, но не точно три, а чуть больше. Причем это отношение не зависит ни от диаметра окружности, ни от места, где она проведена. В те времена это отношение, названное впоследствии числом Пи, не сильно выделялось из множества других чисел, которые можно определить опытным путем. Таких как отношение диагонали квадрата к его стороне или отношение площадей квадрата и равностороннего треугольника с такой же, как у квадрата, стороной.
Фото: depositphotos
Отцом числа Пи следует считать Архимеда, которого называют автором удивительных открытий, что отношение Пи не приближенно, а в точности связывает не только диаметр и длину окружности, но и площадь круга и квадрат его радиуса, объем шара и куб его радиуса и даже площадь сферы и квадрат ее радиуса. То есть Архимед доказал известные всем со школы формулы: L = 2πr, S1 = πr2, V = 4/3 x πr3 и S2 = 4πr2.
Во время загрузки произошла ошибка.Архимеду принадлежит также первая не опытная, а теоретическая (методом построения описанных и вписанных в круг многоугольников) оценка числа Пи: 3 + (10/71)
Так Архимед представлял себе вычисление площади круга
Впоследствии математики поняли, что число Пи связывает объем многомерного шара и степень его радиуса при любой размерности пространства (с рациональным множителем, уже зависящим от размерности: для 2х измерений это 1, для 3х измерений — 4/3). Таким образом, число Пи не изменится даже для исследователей, живущих в пространствах с другим числом измерений.
Однако отношение длины окружности к ее диаметру меняется при искривлении пространства и совпадает с нашей константой только в «плоском» однородном случае, проще говоря в пространстве, для которого справедлива теорема Пифагора. Как утверждает теория относительности, рядом с горизонтом событий черной дыры пространство сильно искривлено. Неужели цивилизация, которой повезло возникнуть в подобном месте, может не подозревать о существовании константы Пи?
Оказывается, число Пи неожиданно возникает просто из натурального ряда чисел. Английский математик Джон Валлис, старший современник Исаака Ньютона, открыл удивительную формулу:
Многоточие в конце формулы означает, что если мы перемножим достаточно много четных чисел в числителе и нечетных в знаменателе, то получим результат, сколь угодно близкий к числу Пи /2.
Еще более удивительную для непосвященных формулу с участием числа вывел великий математик Леонард Эйлер, бóльшую часть своей долгой научной карьеры проработавший в Петербургской академии наук:
Эта формула была признана «самой красивой теоремой в математике». Здесь e = 2,71828… — константа Эйлера, i = √-1 — мнимая единица и Пи — конечно, наше число Пи. На самом деле формулаЭйлера эквивалентна сразу двум равенствам:
где n! = 1×2 x 3···(n — 1) x n.
Конечно, затруднительно вычислять Пи из этих формул как корень уравнения бесконечной степени. А уравнения конечной степени с целыми коэффициентами, корнем которого было бы число Пи, не существует! Это доказал в конце XIX века немецкий математик Фердинанд фон Линдеман, решив заодно знаменитую античную проблему «квадратуры круга». То есть он показал, что, имея отрезок, равный диаметру круга, невозможно только с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади круга.
Другая знаменитая формула Эйлера:
уже пригодна для приближенного вычисления числа Пи. И даже более подходит для этой цели, чем формула великого немецкого философа и математика Готфрида Лейбница:
Впоследствии выяснилось, что эту формулу задолго до Лейбница вывел индийский математик и астроном Мадхава. Формула Лейбница на самом деле является частным случаем формулы разложения арктангенса в ряд Тейлора:
при подстановке x = 1. Долгое время наиболее удобным для вычисления приближений числа Пи считалось равенство английского математика Джона Мэчина, который был секретарем Лондонского королевского общества, когда его возглавлял Исаак Ньютон. Вот это равенство Мэчина:
Для вычисления числа Пи по формуле Мэчина нужно сначала вычислить arctg1/5 и arctg1/239 с помощью приведенного выше разложения арктангенса в ряд Тейлора, которое, по-видимому, впервые нашел сам Исаак Ньютон.
Число возникает в математике в самых неожиданных местах. Например, математик Абрахам де Муавр (бежавший в Англию из Франции, где его преследовали как гугенота) обнаружил формулу:
Теперь ее называют формулой Эйлера-Пуассона, или интегралом Гаусса.
Сам Муавр, а также выдающиеся математики Пьер-Симон де Лаплас и Карл Фридрих Гаусс в разной степени общности и строгости доказали, что функция Φ(x) = e-x2/2/√2 (из формулы Эйлера-Пуассона следует, что интеграл от функции Φ по вещественной прямой равен 1) является плотностью нормального, или гауссова, распределения, которое является предельным для средних арифметических последовательности независимых случайных величин.
Гистограмма близка к графику функции Φ
Это означает, например, если мы будем n серий по m раз подбрасывать монету, вычислять разность между числом выпавших «орлов» и «решек» и записывать результат в таблицу, то при росте n и m построенная по таблице гистограмма будет все больше походить на график функции Φ. Эта теорема служит фундаментом для современной квантовой физики, обеспечивая возможность извлекать из многократных измерений случайных событий строгие закономерности.
Казалось бы, тысячелетняя история исследований позволяет предположить, что мы не упустили ничего важного о числе. Однако в 1997 году, совсем недавно в историческом масштабе, произошла сенсация. Саймон Плафф нашел новое представление для числа в виде ряда:
которое не только требует гораздо меньше слагаемых для вычисления числа с заранее заданной точностью, но и позволяет вычислить любую цифру в двоичном представлении числа Пи, не вычисляя предыдущие цифры.
Владимир Потапов.
Читайте также: Безумие на «Википедии»: 11 статей, которые вас удивят
Числа π и e
Все знают геометрический смысл числа π — это длина окружности с единичным диаметром:
А вот смысл другой важной константы, e, имеет свойство быстро забываться. То есть, не знаю, как вам, а мне каждый раз стоит усилий вспомнить, чем же так замечательно это число, равное 2,7182818284590… (значение я, однако, по памяти записал). Поэтому я решил написать заметку, чтобы больше из памяти не вылетало.
Число e по определению — предел функции y = (1 + 1 / x)x при x → ∞:
| x | y | |
| 1 | (1 + 1 / 1)1 | = 2 |
| 2 | (1 + 1 / 2)2 | = 2,25 |
| 3 | (1 + 1 / 3)3 | = 2,3703703702… |
| 10 | (1 + 1 / 10)10 | = 2,5937424601… |
| 100 | (1 + 1 / 100)100 | = 2,7048138294… |
| 1000 | (1 + 1 / 1000)1000 | = 2,7169239322… |
| ∞ | lim× → ∞ | = 2,7182818284590… |
Это определение, к сожалению, не наглядно. Непонятно, чем замечателен этот предел (несмотря на то, что он называется «вторым замечательным»). Подумаешь, взяли какую-то неуклюжую функцию, посчитали предел. У другой функции другой будет.
Но число e почему-то всплывает в целой куче самых разных ситуаций в математике.
Для меня главный смысл числа e раскрывается в поведении другой, куда более интересной функции, y = kx. Эта функция обладает уникальным свойством при k = e, которое можно показать графически так:
В точке 0 функция принимает значение e0 = 1. Если провести касательную в точке x = 0, то она пройдёт к оси абсцисс под углом с тангенсом 1 (в жёлтом треугольнике отношение противолежащего катета 1 к прилежащему 1 равно 1). В точке 1 функция принимает значение e1 = e. Если провести касательную в точке x = 1, то она пройдёт под углом с тангенсом e (в зелёном треугольнике отношение противолежащего катета e к прилежащему 1 равно e). В точке 2 значение e2 функции снова совпадает с тангенсом угла наклона касательной к ней. Из-за этого, заодно, сами касательные пересекают ось абсцисс ровно в точках −1, 0, 1, 2 и т. д.
Среди всех функций y = kx (например, 2x, 10x, πx и т. д.), функция ex — единственная обладает такой красотой, что тангенс угла её наклона в каждой её точке совпадает со значением самой функции. Значит по определению значение этой функции в каждой точке совпадает со значением её производной в этой точке: (ex)´ = ex. Почему-то именно число e = 2,7182818284590… нужно возводить в разные степени, чтобы получилась такая картинка.
Именно в этом, на мой вкус, состоит его смысл.
Числа π и e входят в мою любимую формулу — формулу Эйлера, которая связывает 5 самых главных констант — ноль, единицу, мнимую единицу i и, собственно, числа π и е:
eiπ + 1 = 0
Почему число 2,7182818284590… в комплексной степени 3,1415926535…i вдруг равно минус единице? Ответ на этот вопрос выходит за рамки заметки и мог бы составить содержание небольшой книги, которая потребует некоторого начального понимания тригонометрии, пределов и рядов.
Меня всегда поражала красота этой формулы. Возможно, в математике есть и более удивительные факты, но для моего уровня (тройка в физико-математическом лицее и пятёрка за комплексный анализ в универе) это самое главное чудо.
Пи
Нарисуйте круг диаметром (полностью поперек круга) 1
Тогда окружность (полностью по кругу) равна 3,14159265 … число, известное как Pi
Пи (произносится как «пирог») часто пишется с использованием греческого символа π
.Определение π:
Окружность
, разделенная на Диаметр
окружности.
Длина окружности, разделенная на диаметр круга, всегда равна π, независимо от того, насколько большой или малый круг!
Чтобы помочь вам вспомнить, что такое π … просто нарисуйте эту диаграмму.
В поисках Пи себя
Нарисуйте круг или используйте что-нибудь круглое, например тарелку.
Измерьте по краю (окружность ):
Получил 82 см
Измерьте поперек круга (диаметр ):
Получил 26 см
Разделить:
82 см / 26 см = 3.1538 …
Это довольно близко к π. Может, если точнее замерил?
Использование Pi
Мы можем использовать π, чтобы найти окружность, когда мы знаем диаметр
Окружность = π × Диаметр
Пример. Вы ходите по кругу диаметром 100 м. Как далеко вы прошли?
Пройденное расстояние = Окружность
= π × 100 м
= 314,159 … м
= 314 м (с точностью до м)
Также мы можем использовать π, чтобы найти диаметр, когда мы знаем окружность
Диаметр = Окружность / π
Пример: Сэм измерил 94 мм на внешней стороне трубы… каков его диаметр?
Диаметр = Окружность / π
= 94 мм / π
= 29,92 … мм
= 30 мм (с точностью до мм)
Радиус
Радиус составляет половину диаметра, поэтому мы также можем сказать:
Для круга радиусом из 1
Расстояние на полпути вокруг окружности равно π = 3,14159265 …
цифр
π примерно равно:
3.14159265358979323846…
Цифры продолжаются без единого шаблона.
π было вычислено с точностью до пятидесяти триллионов десятичных знаков, и все еще нет , нет шаблона для цифр
Приближение
Быстрое и простое приближение для π — 22/7
22/7 = 3,1428571 …
Но, как видите, 22/7 — это , не совсем верно . На самом деле π не равно отношению любых двух чисел, что делает его иррациональным числом.
Действительно хорошее приближение, лучше, чем 1 часть из 10 миллионов, составляет:
355/113 = 3,1415929 …
(подумайте о «113355», косой чертой посередине «113/355», затем переверните «355/113»)
Резюме:
| 22/7 | = | 3,14 28571 … |
| 355/113 | = | 3,141592 9 … |
| π | = | 3.14159265 … |
Запоминание цифр
Я обычно помню просто «3,14159», но вы также можете сосчитать буквы:
«Можно мне сегодня большую тару сливочного масла»
3 1 4 1 5 9 2 6 5
до 100 знаков после запятой
Вот π с первыми 100 десятичными знаками:
| 3,14159265358979323846264338327950288 4197169399375105820974944592307816 4062862089986280348253421170679… |
Самостоятельное вычисление числа Пи
Есть много специальных методов, используемых для вычисления π, и вот один из них, который вы можете попробовать сами: он называется серия Нилаканта (в честь индийского математика, жившего в 1444–1544 годах).
Это продолжается вечно и имеет такую схему:
3+ 4 2 × 3 × 4 — 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 — 4 8 × 9 × 10 +…
(Обратите внимание на узор + и -, а также на узор чисел под линиями.)
Это дает следующие результаты:
| Срок | Результат (до 12 знаков после запятой) |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 3,166666666667 |
| 3 | 3,133333333333 |
| 4 | 3,145238095238 |
| … | … и т. Д.! … |
Возьмите калькулятор (или воспользуйтесь таблицей) и посмотрите, сможете ли вы добиться лучших результатов.
День Пи
ДеньПи отмечается 14 марта. Март — 3-й месяц, поэтому он выглядит как 3/14
.PI
Пи — это отношение длины окружности окружности к диаметру. Это означает, что для любого круга вы можете разделить окружность (расстояние по окружности) по диаметру и всегда получается одно и то же число.Неважно, насколько большой или маленький круг, Пи остается прежним. Пи часто пишут с помощью символа и произносится «пирог», как и десерт.
История | число Пи веб-сайты | Сделай сам Пи | Цифры | Формулы
Краткая история Пи
Древние цивилизации знали, что существует фиксированное соотношение окружности
до диаметра, который был примерно равен трем. Греки утонченные
процесс, и Архимеду приписывают первый теоретический расчет
числа пи.
В 1761 году Ламберт доказал иррациональность числа Пи, т. Е. что это нельзя записать как отношение целых чисел.
В 1882 году Линдеман доказал, что Пи трансцендентен, что состоит в том, что Pi не является корнем какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Это открытие доказало, что нельзя «квадратировать круг», который была проблемой, которая занимала до того времени многих математиков. (Более информация о квадрате круг.)
Сколько здесь цифр? Это когда-нибудь закончится?
Поскольку известно, что Пи — иррациональное число, это означает, что цифры
никогда не заканчивать и не повторять каким-либо известным способом. Но вычисление цифр Пи
на протяжении всей истории интересовал математиков.
Некоторые потратили свою жизнь на вычисление цифр числа Пи, но до компьютеров,
было подсчитано менее 1000 цифр. В 1949 году компьютер рассчитал
2000 цифр и гонка началась.Были подсчитаны миллионы цифр,
с рекордом, установленным (по состоянию на сентябрь 1999 г.) суперкомпьютером на
Токийского университета, который рассчитал 206 158 430000 цифр. (первый
1000 цифр)
Подробнее об истории of Pi можно найти в архивах истории математики Mac Tutor.
Аппроксимация Пи
Архимед вычислил, что Пи находилось между 3 10/71 и 3 1/7 (также написано 223/71 < 22/7 ). 22/7 все еще является хорошим приближением. 355/113 лучше.
Веб-сайты Pi
Pi продолжает увлекать многих людей во всем мире. если ты
заинтересованы в получении дополнительной информации, существует множество веб-сайтов, посвященных
число Пи. Есть сайты, предлагающие тысячи, миллионы или миллиарды
цифр, пи-клубы, пи-музыка, люди, которые считают цифры, люди, которые
запоминать цифры, эксперименты с Пи и многое другое.Проверить это Yahoo
страницу с полным списком.
Классный эксперимент с Пи
Один из самых интересных способов узнать больше о Пи — это провести эксперименты с Пи.
себя. Вот знаменитая игла Buffon’s Needle.
В эксперименте с иглой Буффона вы можете уронить иглу линованный лист бумаги. Если следить за тем, сколько раз игла приземляется на линию, оказывается, что оно напрямую связано со значением числа Пи.
Буффона
Апплет для моделирования иглы (Майкл Дж. Хурбен)
Buffon’s
Нидл (Джордж Риз, Управление математики, науки и технологий)
Образовательный университет Иллинойса Шампейн-Урбана)
Цифры Pi
Первые 100 десятичных знаков
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679…
Первые 1000 знаков после запятой
3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164
0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172
5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975
6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482
1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
78925
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 11798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 212
60 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 5
миллион, 10 миллионов, 100 миллионов и 200 миллионов цифр
Формулы для Pi
Более сложный формулы и выводы
Формула Виета
2 / PI = 2/2 * (2 + 2 ) / 2 * (2 + (( 2 + 2))) / 2 *…c
Формула Лейбница
PI / 4 = 1/1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + …
Wallis Продукт
PI / 2 = 2/1 * 2/3 * 4/3 * 4/5 * 6/5 * 6/7 * …2 / PI = (1 — 1/2 2 ) (1 — 1/4 2 ) (1 — 1/6 2 ) …
Формула лорда Браункера
4 / PI = 1 + 1
----------------
2 + 3 2
------------
2 + 5 2
---------
2 + 7 2 ...
(ИП 2 ) / 8 = 1/1 2 + 1/3 2 + 1/5 2 + …
(PI 2 ) / 24 = 1/2 2 + 1/4 2 + 1/6 2 + …
Формула Эйлера
(ИП 2 ) / 6 = (n = 1 ..) 1 / n 2 = 1/1 2 + 1/2 2 + 1/3 2 + …
(или более широко…)
(n = 1 ..) 1 / n (2k) = (-1) (k-1) PI (2k) 2 (2k) B (2k) / (2 (2k)!)B (k) = k th число Бернулли. например. В 0 = 1 B 1 = -1 / 2 B 2 = 1/6 B 4 = -1 / 30 B 6 = 1/42 B 8 = -1 / 30 B 10 = 5/66. Дальнейшие числа Бернулли определяется как (n 0) B 0 + (n 1) B 1 + (n 2) B 2 +… + (n (n-1)) B (N-1) = 0 при условии, что все нечетные # Бернулли > 1 = 0. (n k) = биномиальный коэффициент = n! / (K! (N-k)!)
См. Power Summations # 2 для упрощенные выражения (без обозначения Бернулли) этих сумм для заданных значений k.
Что такое Пи? | Живая наука
Понять число Пи так же просто, как сосчитать до одного, двух, 3,1415926535…
Хорошо, мы будем здесь какое-то время, если будем продолжать в том же духе.Вот что важно: Пи (π) — это 16-я буква греческого алфавита, которая используется для обозначения наиболее широко известной математической константы.
По определению, пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Другими словами, пи равно длине окружности, деленной на диаметр (π = c / d). И наоборот, длина окружности равна pi, умноженному на диаметр (c = πd). Независимо от того, насколько велик или мал круг, число Пи всегда будет одним и тем же. Это число равно примерно 3.14, но это немного сложнее. [10 удивительных фактов о пи]
Значение пи
Пи — иррациональное число, что означает, что это действительное число, которое не может быть выражено простой дробью. Это потому, что математики называют «бесконечной десятичной дробью» — после десятичной точки цифры идут вечно.
Начиная с математики, учащиеся знакомятся с числом Пи, равным 3,14 или 3,14159. Хотя это иррациональное число, некоторые используют рациональные выражения для оценки пи, например, 22/7 из 333/106.(Эти рациональные выражения имеют точность только до пары десятичных знаков.)
Хотя точного значения числа Пи нет, многие математики и любители математики заинтересованы в вычислении числа Пи как можно большего числа цифр. Мировой рекорд Гиннеса по количеству цифр числа Пи принадлежит Раджвиру Мина из Индии, который в 2015 году произнес число Пи с точностью до 70 000 знаков после запятой (с завязанными глазами). Между тем, некоторые компьютерные программисты подсчитали, что число Пи превышает 22 триллиона цифр. Подобные расчеты часто проводятся в День числа Пи, псевдопраздник, который отмечается каждый год 14 марта (3/14).
Цифры числа пи
Первые 100 цифр числа Пи:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067
На первом сайте piday указан первый сайт piday миллион цифр.
Жизнь пи
Пи была известна почти 4000 лет назад и была открыта древними вавилонянами. Табличка где-то между 1900-1680 годами до нашей эры. обнаружил, что пи равняется 3,125. Древние египтяне делали аналогичные открытия, о чем свидетельствует папирус Райнда 1650 г. до н. Э.C. В этом документе египтяне вычислили площадь круга по формуле, дающей пи приблизительное значение 3,1605. Есть даже библейский стих, где кажется, что число пи было приблизительно равным:
И сделал он расплавленное море в десять локтей от края до края; оно было кругом, и высота его была пять локтей; Около тридцати локтей его окружали. — 3 Царств 7:23 (версия короля Якова)
Первое вычисление числа Пи было выполнено Архимедом Сиракузским (287-212 гг. До н. Э.)С.). Один из величайших математиков мира Архимед использовал теорему Пифагора, чтобы найти площади двух многоугольников. Архимед аппроксимировал площадь круга на основе площади правильного многоугольника, вписанного в круг, и площади правильного многоугольника, внутри которого был описан круг. Многоугольники, как их отображал Архимед, давали верхнюю и нижнюю границы площади круга, и он аппроксимировал число пи между 3 1/7 и 3 10/71.
Пи начал символизировать символом пи (π) в 1706 году британским математиком Уильямом Джонсом.Джонс использовал 3,14159 в качестве вычисления числа пи.
Pi r в квадрате
В основной математике число пи используется для определения площади и длины окружности. Пи используется для определения площади путем умножения квадрата радиуса на пи. Итак, пытаясь найти площадь круга радиусом 3 сантиметра, π3 2 = 28,27 см. Поскольку круги естественным образом встречаются в природе и часто используются в других математических уравнениях, число Пи окружает нас повсюду и используется постоянно.
Пи даже проник в литературный мир.Пилиш — это диалект английского языка, в котором количество букв в последовательных словах следует за цифрами пи. Вот пример из «Not A Wake» Майка Кейта, первой книги, когда-либо написанной полностью на пилише.
Теперь я падаю, усталый житель пригорода в жидкости под деревьями, Дрейфую среди лесов, кипящих в красных сумерках над Европой.
Теперь имеет 3 буквы, I имеет 1 букву, fall имеет 4 буквы, a имеет 1 букву и т. Д. И т. Д.
Эта статья была обновлена 19 октября 2018 г. старшим писателем Live Science Брэндоном Спектором.
Пи и его часть в самой красивой формуле математики
ДеньПи снова приближается для тех, кто отмечает сегодняшнюю дату в формате 3/14 (14 марта). Но вместо того, чтобы говорить о самом Дне Пи, как я делал в прошлом году, в этом году я хочу поговорить о Пи и математических понятиях красоты.
Как лучше сделать это, чем говорить о знаменитой формуле европейского ученого 18 века Леонарда Эйлера:
Прекрасная формула Эйлера.Обратите внимание, что e является основанием для натурального логарифма, а i — символом квадратного корня из -1, что будет объяснено позже. Разговор, CC BYЧасто описываемый как «самая красивая формула в математике», Эйлер, кажется, никогда не записывал ее — соглашения об именах в математике немного хитры. Скорее, это частный случай открытия Эйлера, что экспоненциальный рост и круговое движение эквивалентны, что определяется следующей формулой:
Эту формулу часто называют цис, объединяя вместе cos и sin, а θ — греческий символ Theta.Разговор, CC BYАмериканский физик-теоретик Ричард Фейнман назвал эту формулу «самой замечательной математической формулой».
Эд Сандифер, основатель Общества Эйлера, опубликовал в 2007 году прекрасную статью, в которой подробно обсуждаются подходы Эйлера за более чем 40 лет, чтобы показать, как работает формула (см. Выше).
Я попытаюсь передать историю этой формулы с помощью еще очень небольшого количества символов.
Что делает формула
ФормулаЭйлера включает пять фундаментальных констант: 0, 1, i, e и Pi, и при добавлении равенства, сложения и возведения в степень они объединяются в семизначное слово таинственным и полезным способом.
Можно также записать:
Снова формула Эйлера, переписанная. Разговор, CC BYЭто еще более лаконично и вводит отрицательные числа.
Общей чертой математики является то, что открытия часто сначала используются, а потом понимаются. Как писал французский математик 18 века Жан Даламбер: «Алгебра щедра, она часто дает больше, чем мы просим».
Позвольте мне обсудить 2000-летнюю историю строительных блоков формулы Эйлера.Вам не нужно понимать настоящую математику, просто нужно понять происхождение различных элементов формулы и то, как они так хорошо сочетаются друг с другом.
Равенство (=)
Символ «=» приписывается валлийскому ученому Роберту Рекорду в 1557 году.
Споры о значении равенства в математике отражают и вызывают дискуссии об определенных описаниях в философии в целом.
Известный пример британского логика Бертрана Рассела — Венера, описанная как утренняя и вечерняя звезды.В математике часто обсуждается пример того, равны ли 0,99999999… и 1. Они есть, а они нет.
Ноль (0)
Понятия небытия и пустоты или бесконечности восходят гораздо глубже, но греки и другие не открыли правил манипулирования с помощью «0».
Математически понятное понятие нуля приписывается великому индийскому мыслителю Брахмагупте около 650 г. н.э.
Когда совместили с другим индийским открытием позиционной системы обозначений, вычисления стали намного более доступными.Эта способность не пришла в Европу полностью до 15 века и позже.
1
Без «1» не было бы продвинутой арифметики. С «0» и «1» у нас также есть двоичная система счисления и современные цифровые компьютеры. То, что американский физик-теоретик Джон Арчибальд Уиллер назвал «это от долота».
Это ведет к современной теории групп, алгебре, криптографии и многому другому.
i
Использование мнимых чисел также относится в основном к 16-17 векам.Французский философ и математик Рене Декарт пренебрежительно использовал этот термин.
Математические концепции, которые мы теперь принимаем как должное, иногда требовали столетий, чтобы их усвоить и понять. Неудивительно, что школьники бунтуют.
Эйлеру, а затем немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу потребовалось по-настоящему использовать мнимые числа и придать слову «мнимый» положительный математический оттенок.
Определение «i» как квадратного корня из -1 имеет замечательное следствие: многочлен степени n имеет n (комплексных) корней.
Например, x 4 -1 = (x + 1) (x-1) (x-i) (x + i), у него четыре корня. Это приводит к тому, что сейчас называется комплексным анализом.
Большая часть современной математики и математической физики (например, квантовая теория) не могла быть реализована без комплексного анализа.
Пи (π)
Пи происходит от площади круга радиуса один или от окружности круга с диаметром один.
Великий греческий математик Архимед Сиракузский (287-212 гг. До н.э.) использовал эту идею, чтобы обеспечить приближение 22/7 для числа Пи (3.141592…).
Эйлер открыл современное определение, согласно которому Pi / 2 является наименьшим положительным нулем функции косинуса, определяемой так называемым рядом Тейлора. Это немного сложно, но если вы просто представите серию как очень большой многочлен, вы поймете идею.
Cis как две серии Тейлора. Разговор, CC BYВот! = 1 x 2 x… x n называется факториалом числа n. Это было еще одно открытие 17 века.
e
Константа «е» возникла в 17 веке как основание натурального логарифма и с точностью до трех десятичных знаков равна 2.718… хотя, как и Пи, это трансцендентное число и продолжается без повторения до бесчисленных десятичных знаков.
Эйлер, наш мастер, назвавший и «пи», и «е», понял, что e x также имеет серию денди Тейлора:
Показательная функция. Разговор, CC BYЗатем установка theta (θ) равной единице дает эффективную формулу для e.
Теперь мы знаем, что все строительные блоки все, что нам нужно во втором уравнении (выше), — это установить Theta равным Pi, и с небольшой тригонометрией, зная, что sin (π) = 0 и cos (π) = -1, тогда уменьшая шаг за шагом формулу, выскакивает оригинальная красивая формула.
Один Пи вводится в формулу, и вычисления производятся, небольшое математическое жонглирование различными элементами по обе стороны от знака = дает нам окончательную красивую формулу. Разговор, CC BYЧто такое математическая красота?
Как видите, чтобы формула выглядела красивой, необходимо хотя бы приблизительно понимать элементы.
Бертран Рассел в своей истории западной философии скажем так:
Математика, с правильной точки зрения, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, как красота скульптуры, не обращающейся ни к какой части нашей более слабой природы, без великолепных атрибутов живописи или музыки, но безупречно чистой и способны к суровому совершенству, которое может показать только величайшее искусство.
Большинство математиков согласятся, что для того, чтобы формула была красивой, она должна быть неожиданной, краткой и полезной — в том редком смысле, который признают профессиональные математики.
При необходимости большинство математиков включат Архимеда, Гаусса и Эйлера в пятерку лучших математических мыслителей всех времен. Двое других — Исаак Ньютон (для исчисления и механики) и Бернхард Риман (для гипотезы Римана и римановой геометрии).
С учетом трех этих блестящих мыслителей и фундаментальных констант неудивительно, что формула Эйлера сама по себе превозносится как самая красивая формула в математике.
Уравнение Эйлера— это красивая формула (с использованием числа Пи), показывающая, что математика пугающе совершенна — Кварц
В старшей школе я изучал высшую математику. У этого есть два применения: во-первых, я могу сказать людям, что когда-то изучал высшую математику. Во-вторых, я знаю об уравнении Эйлера.
Уравнения Эйлера не должно существовать. Автор-фантаст никогда бы не вообразил такую потрясающе совершенную формулу; это слишком красиво, чтобы казаться реальным в воображаемом мире. И все же это правда, причем абсолютно в том смысле, в каком может быть только математика.Возможно, я забыл, как вывести уравнение Эйлера из первых принципов (наряду с почти всеми остальными деталями из моих школьных уроков), но я всегда буду помнить получившуюся формулу. Это неопровержимое доказательство математического совершенства и напоминание о том, что мы никогда не сможем полностью понять смысл и причины математики.
Вот, вот уравнение:
Если вы давно не изучали математику, возможно, это не так уж много. Но его разбивка показывает его красоту.
Во-первых, в честь дня числа Пи возьмите число Пи или 𝜋: иррациональное число, названное так потому, что оно продолжается бесконечно без повторения, 𝜋 было впервые обнаружено как число, которое описывает соотношение между длиной окружности и диаметром окружность = 𝜋 x диаметр.) Спустя столетия ученые определили, что 𝜋 также описывает направление ветра в реках и рябь света в физике. Однако изначально 𝜋 принадлежал к области математики, которая занимается формами и размерами: геометрия.
Другое известное иррациональное число,, происходит от логарифмов, которые являются частью исчисления — совершенно другой области математики. Полное значение требует времени, чтобы объяснить, но одна ключевая деталь, лежащая в основе его роли в логарифмах, заключается в том, что скорость роста x составляет x . Как и пи, e является основой множества различных формул. Численно это равно 2,71828… происходит постоянно, без повторения.
Затем — мнимое число.Это теоретическая концепция, которая никогда не может существовать на практике. 𝑖 означает квадратный корень из -1, что невозможно. Никакие два одинаковых числа нельзя умножить вместе, чтобы получить отрицательное значение, то есть не существует числового квадратного корня из -1. Квадратный корень из 4 равен 2, и у вас может получиться 2 яблока. Но √-1 яблок никогда не бывает.
И все же возьмите эти три совершенно разных, сложных числа и объедините их в уравнение Эйлера, и вы получите волшебный результат: e в степени (𝑖, умноженное на пи) равно -1.Или:
Вы также можете записать это как:
Число один, конечно же, является первым натуральным числом, первым положительным целым числом и наиболее распространенным лидером в наборах данных: Все просто, с чего мы начинаем подсчет. А число ноль — единственное неположительное натуральное число, наименьшее неотрицательное число, ничего не означающее.
Другими словами, одно короткое уравнение включает пять самых важных чисел во всей математике.
Это почти нервирует.Взятые по отдельности, такие числа, как e, results и, кажутся результатом несовершенных человеческих усилий понять сложность мира с помощью математических соотношений. Однако уравнение Эйлера показывает, что за этими числами стоит единство. Общая сумма математических знаний человека — это не более чем крошечная доля полной совершенной системы. И каждое открываемое нами число или уравнение является отражением этой абстрактной внутренней истины, а не изобретением человека. Люди могут надеяться открыть математические истины, но мы не можем их создать.
Как использовать функцию Excel PI
В геометрии площадь, ограниченная кругом радиуса (r), определяется по следующей формуле: πr2 Греческая буква π («пи») представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. В Excel π равно …
.В геометрии длина окружности радиуса (r) определяется по следующей формуле: = 2πr Греческая буква π («пи») представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру.В Excel π равно …
.В геометрии сфера определяется как набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии (r) от данной точки в трехмерном пространстве. Формула для расчета объема шара: Где r представляет собой …
В геометрии формула для расчета объема конуса: Формула для расчета объема конуса основана на формуле для расчета объема пирамиды.Поскольку основанием конуса является …
В геометрии стандартная формула для расчета площади поверхности цилиндра: По сути, эта формула сначала вычисляет площадь стороны цилиндра на основе длины окружности, умноженной на …
В геометрии формула для расчета площади поверхности правого конуса: Греческая буква π («пи») представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру.В Excel π представлено в формуле …
В геометрии формула для расчета объема цилиндра: Греческая буква π («пи») представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. В Excel π представлено в формуле с …
В геометрии сфера определяется как набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии (r) от данной точки в трехмерном пространстве.Формула для расчета площади поверхности шара: Греческий …
Что такое Пи и как оно возникло?
Вкратце, пи — это греческая буква, обозначающая р или π — это отношение длины окружности любого круга к диаметру этого круга. Независимо от размера круга это отношение всегда будет равно пи. В десятичной форме значение пи составляет примерно 3,14. Но пи — иррациональное число, что означает, что его десятичная форма не заканчивается (например, 1/4 = 0.25) и не повторяется (например, 1/6 = 0,166666 …). (Всего с 18 десятичными знаками число пи равно 3,141592653589793238.) Следовательно, полезно иметь сокращенное обозначение отношения длины окружности к диаметру. Согласно « A History of Pi » Петра Бекмана, греческая буква π была впервые использована для этой цели Уильямом Джонсом в 1706 году, вероятно, как сокращение периферии, и стала стандартной математической записью примерно 30 лет спустя.
Проведите небольшой эксперимент: с помощью циркуля нарисуйте круг.Возьмите один кусок веревки и поместите его на вершину круга ровно один раз. Теперь распрямите веревку; его длина называется окружностью круга. Измерьте окружность линейкой. Затем измерьте диаметр круга, который представляет собой длину от любой точки круга прямо через его центр до другой точки на противоположной стороне. (Диаметр в два раза больше радиуса, длины от любой точки круга до его центра.) Если вы разделите окружность круга на диаметр, вы получите примерно 3.14 — неважно, какого размера круг вы нарисовали! У большего круга будет большая окружность и больший радиус, но соотношение всегда будет тем же. Если бы вы могли точно измерить и разделить, вы бы получили 3,141592653589793238 … или пи.
Иначе говоря, если вы разрежете несколько кусков веревки, длина которых равна диаметру, вам понадобится чуть больше трех из них, чтобы покрыть окружность круга.
Пи чаще всего используется в некоторых вычислениях, касающихся кругов.Пи не только связывает окружность и диаметр. Удивительно, но он также связывает диаметр или радиус круга с площадью этого круга по формуле: площадь равна пи, умноженному на квадрат радиуса. Кроме того, число пи часто неожиданно появляется во многих математических ситуациях. Например, сумма бесконечного ряда
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + … + 1 / n2 + … равно π 2 /6
Важность числа Пи была признана не менее 4000 лет назад. A History of Pi отмечает, что к 2000 г.К., «вавилоняне и египтяне (по крайней мере) знали о существовании и значении константы π», признавая, что каждый круг имеет одинаковое отношение длины окружности к диаметру.