Клинбиз | Клининговая компания в Нижнем Новгороде | Цены на клининговые услуги и уборку

Наклон или мгновенная скорость изменения кривой в определенной точке ( x ₀ , f ( x ₀ )) можно определить, соблюдая предел средней скорости изменения, когда вторая точка ( x ₀ + h , f ( x ₀ + h )) приближается к исходной точке.

Подводя итог, производная f ( x ) при x ₀ , записывается как f ′ ( x ₀ ), ( d f / d x ) ( x ₀ ) или D f ( x ₀ ) определяется, как если бы этот предел существует.

Дифференциация, то есть вычисление производной, редко требует использования базового определения, но вместо этого может быть достигнута посредством знания трех основных производных, использования четырех правил работы и знания того, как манипулировать функциями.

3.2: Производная как функция

Цели обучения

• Определите производную функцию заданной функции.
• Постройте производную функцию от графика заданной функции.
• Укажите связь между производными и непрерывностью.
• Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
• Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент.Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным. В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Производные функции

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная.Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение: производная функция

Пусть \ (f \) — функция. Производная функция , обозначаемая \ (f ‘\), является функцией, область определения которой состоит из таких значений \ (x \), что существует следующий предел:

\ [f ‘(x) = \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h}. \ label {derdef} \]

Функция \ (f (x) \) называется дифференцируемой в точке \ (a \), если существует \ (f ‘(a) \). В более общем смысле, функция называется дифференцируемой на \ (S \), если она дифференцируема в каждой точке открытого множества \ (S \), а дифференцируемая функция — это функция, в которой \ (f ‘( x) \) существует в своем домене.

В следующих нескольких примерах мы используем уравнение \ ref {derdef}, чтобы найти производную функции.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): поиск производной функции квадратного корня

Найдите производную от \ (f (x) = \ sqrt {x} \).

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.

Заменить \ (f (x + h) = \ sqrt {x + h} \) и \ (f (x) = \ sqrt {x} \) в \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите производную от \ (f (x) = x ^ 2 \).2−2x \ справа) = 2x − 2 \). Таким образом, для функции \ (y = f (x) \) каждое из следующих обозначений представляет производную от \ (f (x) \):

\ (f ‘(x), \ quad \ dfrac {dy} {dx}, \ quad y’, \ quad \ dfrac {d} {dx} \ big (f (x) \ big) \).

Вместо \ (f ‘(a) \) мы также можем использовать \ (\ dfrac {dy} {dx} \ Big | _ {x = a} \). Нотация \ (\ dfrac {dy} {dx} \) (называемая нотацией Лейбница) довольно распространена в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке — это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной.Наклоны этих секущих часто выражаются в виде \ (\ dfrac {Δy} {Δx} \), где \ (Δy \) — разность значений \ (y \), соответствующая разнице в \ (x \) значения, которые выражаются как \ (Δx \) (Рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения \ (y \) по отношению к \ (x \), выражается как

\ (\ Displaystyle \ frac {dy} {dx} = \ lim_ {Δx → 0} \ frac {Δy} {Δx} \).

Построение графика производной

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку \ (f ‘(x) \) дает скорость изменения функции \ (f (x) \) (или наклон касательной линия к \ (f (x) \)).

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы обнаружили, что для \ (f (x) = \ sqrt {x} \), \ (f ‘(x) = \ frac {1} {2 \ sqrt { Икс}}\).Если мы построим график этих функций на тех же осях, как на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что \ (f (x) \) увеличивается по всей своей области, а это означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем \ (f ‘(x)> 0 \) для всех значений x в его области определения. Кроме того, по мере увеличения \ (x \) наклон касательных к \ (f (x) \) уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение \ (f ‘(x) \).2−2x, \; f ‘(x) = 2x − 2 \). Графики этих функций показаны на рисунке \ (\ PageIndex {3} \). Обратите внимание, что \ (f (x) \) убывает при \ (x <1 \). Для тех же значений \ (x \), \ (f '(x) <0 \). Для значений \ (x> 1 \), \ (f (x) \) увеличивается и \ (f ‘(x)> 0 \). Кроме того, \ (f (x) \) имеет горизонтальную касательную в \ (x = 1 \) и \ (f ‘(1) = 0 \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \): эскиз производной с использованием функции

Используйте следующий график \ (f (x) \), чтобы нарисовать график \ (f ‘(x) \).2−4 \). На каком интервале находится график \ (f ‘(x) \) над осью \ (x \)?

Подсказка

График \ (f ‘(x) \) положительный, где \ (f (x) \) возрастает.

Ответ

\ ((0, + ∞) \)

Деривативы и непрерывность

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью.Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть там непрерывной; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке. Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Дифференцируемость предполагает непрерывность

Пусть \ (f (x) \) — функция и \ (a \) находится в ее области определения. Если \ (f (x) \) дифференцируема в \ (a \), то \ (f \) непрерывна в \ (a \).

Проба

Если \ (f (x) \) дифференцируемо в \ (a \), то \ (f ‘(a) \) существует и, если мы положим \ (h = x — a \), то \ (x = a + h \), и поскольку \ (h = xa \ to 0 \), мы можем видеть, что \ (x \ to a \).

Затем

\ [f ‘(a) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (a + h) -f (a)} {h} \ nonumber \]

можно переписать как

\ (F ‘(a) = \ displaystyle \ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \).

Мы хотим показать, что \ (f (x) \) непрерывно в \ (a \), показав, что \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a). \) Таким образом,

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) & = \ lim_ {x → a} \; \ big (f (x) −f (a) + f (a) \ big) \\ [4pt]
& = \ lim_ {x → a} \ left (\ frac {f (x) −f (a)} {x − a} ⋅ (x − a) + f (a) \ right) & & \ text {Умножить и разделить} (f (x) −f (a)) \ text {by} x − a.\\ [4pt]
& = \ left (\ lim_ {x → a} \ frac {f (x) −f (a)} {x − a} \ right) ⋅ \ left (\ lim_ {x → a} \; (x − a) \ right) + \ lim_ {x → a} f (a) \\ [4pt]
& = f ‘(a) ⋅0 + f (a) \\ [4pt]
& = f (а). \ end {align *} \)

Следовательно, поскольку \ (f (a) \) определено и \ (\ displaystyle \ lim_ {x → a} f (x) = f (a) \), мы заключаем, что \ (f \) непрерывно в \ (а \).

□

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость. Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию \ (f (x) = | x | \).2}} = + ∞ \).

Таким образом, \ (f ‘(0) \) не существует. Быстрый взгляд на график \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \) проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке \ (0 \) (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Функция \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) также имеет производную, которая демонстрирует интересное поведение в \ (0 \).

Мы видим, что

\ (е ‘(0) = \ displaystyle \ lim_ {x → 0} \ frac {x \ sin \ left (1 / x \ right) −0} {x − 0} = \ lim_ {x → 0} \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right) \).

Этот предел не существует, в основном потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю (Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)).

Итого:

1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
2. Мы видели, что \ (f (x) = | x | \) не может быть дифференцируемым в \ (0 \), потому что предел наклона касательных линий слева и справа не одинаков. Визуально это привело к появлению острого угла на графике функции в точке \ (0.\) Отсюда заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
3. Как мы видели в примере с \ (f (x) = \ sqrt [3] {x} \), функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
4. Как мы видели с \ (f (x) = \ begin {cases} x \ sin \ left (\ frac {1} {x} \ right), & & \ text {if} x ≠ 0 \\ 0, & & \ text {if} x = 0 \ end {cases} \) функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.2 + bx + c, & & \ text {if} x <−10 \\ - \ frac {1} {4} x + \ frac {5} {2}, & & \ text {if} x≥ − 10 \ end {case} \), где \ (x \) и \ (f (x) \) указаны в дюймах. Чтобы машина могла плавно двигаться по рельсам, функция \ (f (x) \) должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой в точке \ (- 10 \). Найдите значения \ (b \) и \ (c \), которые делают \ (f (x) \) одновременно непрерывным и дифференцируемым.
   Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Чтобы автомобиль плавно двигался по рельсам, функция должна быть как непрерывной, так и дифференцируемой.

   Решение

   Чтобы функция была непрерывной в точке \ (x = −10 \), \ (\ displaystyle \ lim_ {x → 10 ^ -} f (x) = f (−10) \). 2 + bx + (10b − 5) −5} {x + 10} & & \ text {Substitute} c = 10b − 5.2, & & \ text {if} x≥3 \ end {cases} \) как непрерывные, так и дифференцируемые в \ (3 \).

   Подсказка

   Используйте пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве руководства.

   Ответ

   \ (a = 6 \) и \ (b = −9 \)

   Производные инструменты высшего порядка

   Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной. Например, производная функции положения — это скорость изменения положения или скорости.Производная скорости — это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . n}.2−3h} {h} \) Упростим числитель. \ (= \ Displaystyle \ lim_ {h → 0} (4x + h − 3) \) Выносим за скобки \ (h \) в числителе и сокращаем, добавляя \ (h \) в знаменатель. \ (= 4x − 3 \) Возьми предел.

   Затем найдите \ (f » (x) \), взяв производную от \ (f ‘(x) = 4x − 3. \)

   \ (f » (x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f ‘(x + h) −f’ (x)} {h} \)

   Используйте \ (f ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) с \ (f’ (x) \) в место \ (f (x).3 \), найти \ (a (t). \) Подсказка Используйте пример \ (\ PageIndex {6} \) в качестве руководства. Ответ \ (а (т) = 6т \) Ключевые понятия Производная функции \ (f (x) \) — это функция, значение которой в \ (x \) равно \ (f ‘(x) \). {\ text {th}} \). Ключевые уравнения \ (е ‘(x) = \ displaystyle \ lim_ {h → 0} \ frac {f (x + h) −f (x)} {h} \) Глоссарий производная функция дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная с дифференциацией \ (a \) функция, для которой существует \ (f ‘(a) \), дифференцируема в \ (a \) с дифференциацией на \ (S \) функция, для которой \ (f ‘(x) \) существует для каждого \ (x \) в открытом множестве \ (S \), дифференцируема на \ (S \) дифференцируемая функция функция, для которой существует \ (f ‘(x) \), является дифференцируемой функцией производная высшего порядка производная от производной, от второй производной до производной \ (n ^ {\ text {th}} \), называется производной более высокого порядка Авторы и авторство Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org. Пол Сибургер (Колледж Монро) добавил объяснение альтернативного определения производной, используемого в доказательстве того, что дифференцируемость предполагает непрерывность. Исчисление I — Определение производной Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. Раздел 3-1: Определение производного инструмента В первом разделе главы «Пределы» мы увидели, что вычисление наклона касательной, мгновенной скорости изменения функции и мгновенной скорости объекта в \ (x = a \) требует от нас вычислить следующий предел. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} \ frac {{f \ left (x \ right) — f \ left (a \ right)}} {{x — a}} \] Мы также видели, что с небольшим изменением обозначений этот предел можно также записать как, \ [\ begin {уравнение} \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({a + h} \ right) — f \ left (a \ right)}} {h } \ label {eq: eq1} \ end {формула} \] Это такой важный предел, и он возникает во многих местах, поэтому мы даем ему название. Мы называем это производной . Вот официальное определение производной. Определение производного инструмента Производная от \ (f \ left (x \ right) \) относительно x является функцией \ (f ‘\ left (x \ right) \) и определяется как, \ [\ begin {уравнение} f ‘\ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({x + h} \ right) — f \ left (x \ right)}} {h} \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \] Обратите внимание, что мы заменили все a в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на x , чтобы признать тот факт, что производная на самом деле также является функцией. 2} — 16x + 35} \ right)}} {h} \ end {align *} \] Будьте осторожны и убедитесь, что вы правильно используете скобки при вычитании.2} — 16h}} {h} \ end {align *} \] Обратите внимание, что каждый член в числителе, у которого не было h в нем, был сокращен, и теперь мы можем вынести h из числителя, которое сократится против h в знаменателе. После этого мы можем вычислить предел. \ [\ begin {align *} f ‘\ left (x \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({4x + 2h — 16} \ right )}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} 4x + 2h — 16 \\ & = 4x — 16 \ end {align *} \] Итак, производная: \ [f ‘\ left (x \ right) = 4x — 16 \] Пример 2 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [g \ left (t \ right) = \ frac {t} {{t + 1}} \] Показать решение Этот будет немного запутаннее в плане алгебры. Однако в остальном он будет работать точно так же, как и в предыдущих примерах. Сначала мы подставляем функцию в определение производной, \ [\ begin {align *} g ‘\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{g \ left ({t + h} \ right) »- g \ left (t \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{t + h }} {{t + h + 1}} — \ frac {t} {{t + 1}}} \ right) \ end {align *} \] Обратите внимание, что мы изменили все буквы в определении, чтобы они соответствовали данной функции.Также обратите внимание, что мы написали дробь гораздо более компактно, чтобы помочь нам в работе. Как и в случае с первой проблемой, мы не можем просто подключить \ (h = 0 \). Итак, нам нужно будет немного упростить. В этом случае нам нужно будет объединить два члена числителя в одно рациональное выражение следующим образом. \ [\ begin {align *} g ‘\ left (t \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac {{\ left ({t + h} \ right) \ left ({t + 1} \ right) — t \ left ({t + h + 1} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1}) \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({ \ frac {{{t ^ 2} + t + th + h — \ left ({{t ^ 2} + th + t} \ right)}} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left ({\ frac { h} {{\ left ({t + h + 1} \ right) \ left ({t + 1} \ right)}}} \ right) \ end {align *} \] Прежде чем закончить, отметим пару вещей. 2}}} \] Пример 3 Найдите производную следующей функции, используя определение производной.\ [R \ left (z \ right) = \ sqrt {5z — 8} \] Показать решение Сначала подключитесь к определению производной, как мы делали с предыдущими двумя примерами. \ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{R \ left ({z + h} \ right) »- R \ left (z \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} — \ sqrt {5z — 8}}} {h} \ end {align *} \] В этой задаче нам нужно рационализировать числитель.Вы ведь помните рационализацию из класса алгебры? На уроках алгебры вы, вероятно, только рационализировали знаменатель, но вы также можете рационализировать числители. Помните, что при рационализации числителя (в данном случае) мы умножаем числитель и знаменатель на числитель, за исключением того, что мы меняем знак между двумя членами. Вот рационализация этой проблемы, \ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} — \ sqrt {5z — 8}} \ right)}} {h} \ frac {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} + \ sqrt {5z — 8}} \ right)}} {{\ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} + \ sqrt {5z — 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5z + 5h — 8 — \ left ({5z — 8} \ right)}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} + \ sqrt {5z — 8}} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{5h}} {{h \ left ({\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} + \ sqrt {5z — 8}}) \ right)}} \ end {align *} \] Опять же, после упрощения в числителе осталось всего ч .Итак, отмените h и оцените лимит. \ [\ begin {align *} R ‘\ left (z \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {5} {{\ sqrt {5 \ left ({z + h} \ right) — 8} + \ sqrt {5z — 8}}} \\ & = \ frac {5} {{\ sqrt {5z — 8} + \ sqrt {5z — 8}}} \\ & = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z — 8}}} \ end {align *} \] Итак, мы получаем производную от . \ [R ‘\ left (z \ right) = \ frac {5} {{2 \ sqrt {5z — 8}}} \] Давайте поработаем еще один пример.Этот будет немного другим, но нужно сказать о нем. Пример 4 Определите \ (f ‘\ left (0 \ right) \) для \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \). Показать решение Поскольку эта проблема запрашивает производную в определенный момент, мы продолжим и будем использовать ее в своей работе. Это сделает нашу жизнь проще, и это всегда хорошо. Итак, включите определение и упростите. \ [\ begin {align *} f ‘\ left (0 \ right) & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{f \ left ({0 + h} \ right) »- f \ left (0 \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | {0 + h} \ right | — \ left | 0 \ right |}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \ end {align *} \] Мы видели подобную ситуацию, когда смотрели на пределы бесконечности.+}} 1 \\ & = 1 \ end {выровнять *} \] Два односторонних ограничения различны, поэтому \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{\ left | h \ right |}} {h} \] не существует. Однако это предел, который дает нам производную, которую мы ищем. Если предел не существует, значит, не существует и производной. В этом примере мы наконец увидели функцию, для которой не существует производной в точке.Это жизненный факт, о котором мы должны знать. Деривативы будут существовать не всегда. Также обратите внимание, что это ничего не говорит о том, существует ли производная где-либо еще. Фактически, производная функции абсолютного значения существует в каждой точке, кроме той, которую мы только что рассмотрели, \ (x = 0 \). Предыдущее обсуждение приводит к следующему определению. Определение Функция \ (f \ left (x \ right) \) называется дифференцируемой в \ (x = a \), если существует \ (f ‘\ left (a \ right) \) и \ (f \ left ( x \ right) \) называется дифференцируемой на интервале, если производная существует для каждой точки этого интервала. Следующая теорема показывает нам очень хорошее соотношение между непрерывными и дифференцируемыми функциями. Теорема Если \ (f \ left (x \ right) \) дифференцируем в \ (x = a \), то \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно в \ (x = a \). См. Раздел Доказательство различных формул производных в главе «Дополнительные возможности», чтобы увидеть доказательство этой теоремы. Обратите внимание, что эта теорема не работает в обратном направлении. Рассмотрим \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) и посмотрите, \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} f \ left (x \ right) = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 0} \ left | х \ право | = 0 = е \ влево (0 \ вправо) \] Итак, \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \) непрерывно в \ (x = 0 \), но мы только что показали выше в примере 4, что \ (f \ left ( x \ right) = \ left | x \ right | \) не дифференцируем в \ (x = 0 \). Альтернативное обозначение Далее нам нужно обсудить некоторые альтернативные обозначения производной. Типичное обозначение производной — это «простое» обозначение. Однако иногда используются и другие обозначения, поэтому давайте остановимся на этом. Для функции \ (y = f \ left (x \ right) \) все нижеследующие эквивалентны и представляют собой производную от \ (f \ left (x \ right) \) по отношению к x . \ [f ‘\ left (x \ right) = y’ = \ frac {{df}} {{dx}} = \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx} } \ left ({f \ left (x \ right)} \ right) = \ frac {d} {{dx}} \ left (y \ right) \] Поскольку нам также необходимо иногда оценивать производные, нам также нужна запись для оценки производных при использовании дробной записи.Итак, если мы хотим оценить производную в \ (x = a \), все следующие утверждения эквивалентны. \ [е ‘\ влево (а \ вправо) = {\ влево. {y ‘} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{df}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} = {\ left. {\ frac {{dy}} {{dx}}} \ right | _ {x = a}} \] Также обратите внимание, что иногда мы опускаем часть \ (\ left (x \ right) \) в функции, чтобы несколько упростить обозначения. В этих случаях следующие варианты эквивалентны. \ [е ‘\ влево (х \ вправо) = е’ \] В заключение в этом разделе мы признаем, что вычисление большинства производных прямо из определения — довольно сложный (а иногда и болезненный) процесс, полный возможностей для ошибок.В нескольких разделах мы начнем разрабатывать формулы и / или свойства, которые помогут нам взять производную от многих общих функций, чтобы нам не приходилось слишком часто прибегать к определению производной. Однако это не означает, что не важно знать определение производной! Это важное определение, которое мы всегда должны знать и помнить. Это просто то, с чем мы не собираемся так много работать. Сводка отчета № 133 Учет производных инструментов и хеджирования (выпуск 6/98) Краткое описание Настоящее Положение устанавливает стандарты учета и отчетности для производных инструментов, включая определенные производные инструменты, встроенные в другие контракты (вместе именуемые производными инструментами), а также для деятельности по хеджированию. Он требует, чтобы компания признавала все производные инструменты как активы или обязательства в отчете о финансовом положении и оценивала эти инструменты по справедливой стоимости.При соблюдении определенных условий производный инструмент может быть специально обозначен как (a) хеджирование риска изменения справедливой стоимости признанного актива или обязательства или непризнанного твердого обязательства, (b) хеджирование риска изменения денежных средств. потоки прогнозируемой операции или (c) хеджирование валютных рисков чистой инвестиции в зарубежное подразделение, непризнанного твердого обязательства, ценной бумаги, имеющейся в наличии для продажи, или прогнозируемой операции, выраженной в иностранной валюте. Учет изменений справедливой стоимости производного инструмента (то есть прибылей и убытков) зависит от предполагаемого использования производного инструмента и полученного определения. Для производного инструмента, предназначенного для хеджирования риска изменения справедливой стоимости признанного актива или обязательства или твердого обязательства (именуемого хеджированием справедливой стоимости), прибыль или убыток признаются в составе прибыли в периоде изменения вместе. с компенсацией убытка или прибыли по объекту хеджирования, относящимся к хеджируемому риску.Эффект от такого учета состоит в том, чтобы отразить в прибыли степень, в которой хеджирование неэффективно для компенсации изменений справедливой стоимости. Для производного инструмента, предназначенного для хеджирования подверженности переменным денежным потокам от прогнозируемой операции (называемого хеджированием денежных потоков), эффективная часть прибыли или убытка от производного инструмента первоначально отражается как компонент прочего совокупного дохода (вне прибыли) и впоследствии реклассифицируются в прибыль, когда прогнозируемая операция влияет на прибыль.Неэффективная часть прибыли или убытка немедленно отражается в отчете о прибылях и убытках. Для производного инструмента, предназначенного для хеджирования валютных рисков чистых инвестиций в зарубежное подразделение, прибыль или убыток отражается в прочем совокупном доходе (вне прибыли) как часть кумулятивной корректировки пересчета. Учет хеджирования справедливой стоимости, описанный выше, применяется к производному инструменту, предназначенному для хеджирования валютных рисков непризнанного твердого обязательства или ценной бумаги, имеющейся в наличии для продажи.Аналогичным образом, описанный выше учет хеджирования денежных потоков применяется к производному инструменту, предназначенному для хеджирования валютных рисков прогнозируемой операции, выраженной в иностранной валюте. Для производного инструмента, не обозначенного в качестве инструмента хеджирования, прибыль или убыток признается в составе прибыли в периоде изменения. В соответствии с настоящим Положением организация, решившая применить учет хеджирования, должна установить в начале хеджирования метод, который она будет использовать для оценки эффективности производного инструмента хеджирования, и метод оценки для определения неэффективного аспекта хеджирования.Эти методы должны соответствовать подходу организации к управлению рисками. Это заявление применяется ко всем организациям. Некоммерческая организация должна признавать изменение справедливой стоимости всех производных финансовых инструментов как изменение чистых активов в периоде изменения. При хеджировании справедливой стоимости также признаются изменения справедливой стоимости объекта хеджирования, связанные с хеджируемым риском. Однако из-за формата отчета о финансовых результатах некоммерческим организациям не разрешается использовать специальный учет хеджирования для производных финансовых инструментов, используемых для хеджирования прогнозируемых операций.В этом Положении не рассматривается, как некоммерческая организация должна определять компоненты операционного показателя, если он представлен. Настоящее Положение не позволяет определять непроизводный финансовый инструмент в качестве хеджирования актива, обязательства, непризнанного твердого обязательства или прогнозируемой операции, за исключением того, что непроизводный инструмент, деноминированный в иностранной валюте, может быть определен в качестве хеджирования валютных рисков непризнанной фирмы. обязательство, выраженное в иностранной валюте, или чистая инвестиция в зарубежную деятельность. Настоящее Положение вносит поправки в Положение FASB № 52, «Пересчет иностранной валюты», , чтобы разрешить специальный учет хеджирования прогнозируемой операции в иностранной валюте с производным инструментом. Он заменяет Заявления FASB № 80, Учет фьючерсных контрактов, № 105, Раскрытие информации о финансовых инструментах с внебалансовым риском и финансовых инструментах с концентрацией кредитного риска, и № 119, Раскрытие информации о производных финансовых инструментах и ​​справедливой стоимости финансовых инструментов .Он вносит поправки в Заявление FASB № 107, «Раскрытие информации о справедливой стоимости финансовых инструментов», , чтобы включить в Отчет 107 положения о раскрытии информации о концентрациях кредитного риска из Заявления 105. Это Положение также аннулирует или изменяет консенсус, достигнутый по ряду решаемых вопросов. Целевой группой по возникающим проблемам. Настоящий Положение вступает в силу для всех финансовых кварталов финансовых лет, начинающихся после 15 июня 1999 г. Первоначальное применение данного Положение должно производиться с начала финансового квартала предприятия; в этот день отношения хеджирования должны быть определены заново и задокументированы в соответствии с положениями настоящего Положения.Досрочное применение всех положений настоящего Положения приветствуется, но разрешено только с начала любого финансового квартала, который начинается после выпуска настоящего Положения. Этот Отчет не должен применяться ретроактивно к финансовой отчетности за предыдущие периоды. Правило 18f-4: Сокращение хеджирования — хеджирование, исключенное из воздействия производных финансовых инструментов Наша статья об уравнении подверженности деривативам началась с отдельного уравнения, касающегося процентной ставки и валютного хеджирования.В этом посте объясняется важность этого уравнения и то, какие хеджирования следует исключить из воздействия производных финансовых инструментов фонда. В нашей следующей публикации мы рассмотрим хеджирование, включенное в подверженность деривативам, прежде чем мы поднимем некоторые интерпретирующие вопросы о том, как следует применять исключение. Почему хеджирование имеет значение Фонд, пытающийся действовать как «ограниченный пользователь деривативов», должен поддерживать подверженность деривативам, не превышающую 10% его чистых активов. Правило 18f-4 (c) (4) (B) исключает из операций фонда с производными финансовыми инструментами, подверженными риску валютных или процентных деривативов, которые: заключены и поддерживаются фондом в целях хеджирования; хеджировать валютные или процентные риски, связанные с одним или несколькими конкретными инвестициями в акционерный капитал или фиксированный доход, удерживаемыми фондом, или с займами фонда; и имеют условную сумму, которая не превышает стоимость хеджируемых инвестиций (или их номинальную стоимость в случае инвестиций с фиксированным доходом или основную сумму в случае заимствования) более чем на 10 процентов. Мы называем операции с производными финансовыми инструментами, исключенные из подверженности риску производных финансовых инструментов («Производные инструменты хеджирования»). Исключение этих деривативов для хеджирования снижает подверженность фонда деривативам, тем самым облегчая квалификацию в качестве ограниченного пользователя деривативов. Поскольку любое хеджирование должно снизить «стоимость, подверженную риску» VaR-фонда, VaR-фонду не нужно определять, является ли сделка с деривативами хеджированием, или сопоставлять ее с конкретными инвестициями. Что такое «цель хеджирования»? Несмотря на важность хеджирования, может (или не может) стать сюрпризом, что Правило 18f-4 не определяет явно, что составляет «цель хеджирования».Тем не менее, два заявления в выпуске, принимающем Правило 18f-4 («Разрешение на принятие»), указывают на узко определенную концепцию «цели хеджирования», которая ограничивает исключение производных инструментов хеджирования из подверженности деривативам. Во-первых, Комиссия предусмотрела исключение для хеджирования валют и процентных ставок, но не для других типов хеджирования: , потому что они предсказуемо и механически обеспечат ожидаемую подверженность хеджированию без возникновения базовых рисков или других потенциально сложных рисков, которыми следует управлять в рамках программы управления риском производных финансовых инструментов.” Это говорит нам о том, что «цель хеджирования» должна быть простой (не «потенциально сложной») и напрямую связанной («механически») с хеджируемым риском. Например, фонд должен включать кросс-валютное «хеджирование», при котором фонд закрывает другую валюту в качестве прокси для валюты, в которой деноминированы инвестиции, в свои производные финансовые инструменты, потому что это зависит от корреляции двух валют и , таким образом, не просто и напрямую хеджирует валютный риск инвестиции.По аналогичным причинам мы считаем, что для фонда, акции которого номинированы в долларах США, фонд должен хеджировать доллары, а не другую валюту. Во-вторых, при обсуждении того, почему подверженность деривативам все еще включает другие виды хеджирования, Комиссия назвала их хеджами, которые «могут снизить риски портфеля фондов». Это означает, что Комиссия считает, что целью хеджирования производных инструментов должно быть снижение валютного риска или риска процентной ставки. Может показаться очевидным, что хеджирование должно снижать риск, но управляющие портфелем иногда используют деривативы, чтобы добавить риск в свой портфель, чтобы уменьшить ошибку отслеживания фонда по сравнению с его эталоном.Это может снизить «риск ошибки отслеживания», но не снизит риск портфеля и, следовательно, не будет подходящей «целью хеджирования» для ограниченного пользователя производных финансовых инструментов. Особые инвестиции Производный инструмент хеджирования должен хеджировать риски, «связанные с одним или несколькими конкретными инвестициями в капитал или фиксированный доход». В случае валютного производного инструмента инвестиция должна быть «деноминирована в иностранной валюте». Как мы только что объяснили, мы считаем, что валюта производного инструмента хеджирования должна относиться к той иностранной валюте, в которой выражены эти конкретные инвестиции. Мы полагаем, что для этого потребуются процедуры соответствия ограниченного пользователя производных финансовых инструментов, чтобы отслеживать, какие конкретные инвестиции хеджируются производным инструментом хеджирования. Понятно, что соответствие не обязательно должно быть однозначным; фонд может использовать производный инструмент в одной валюте для хеджирования всего риска по инвестициям, деноминированным в этой валюте. Но будет легче продемонстрировать соответствие, если фонд будет вести учет тех инвестиций, которые были хеджированы производным инструментом. Буфер 10% Как применить «не более 10%» от стоимости указанного требования к инвестициям поднимает важные вопросы интерпретации, которые мы подробно обсудим в отдельных сообщениях.Но сначала в нашей следующей публикации будут рассмотрены хеджи, которые, как указано в выпуске, должны быть включены в состав деривативов фонда. Выполнение исчисления: асимметричный адаптивный материал, реагирующий на стимулы, для производного контроля . 2021 31 марта; 7 (14): eabe5698. DOI: 10.1126 / sciadv.abe5698. Печать 2021 Мар. Принадлежности Расширять Принадлежности 1 Департамент химической и биомолекулярной инженерии, Национальный университет Сингапура, 4 Engineering Drive 4, Singapore 117585, Singapore. 2 Институт высокопроизводительных вычислений A * STAR, 1 Fusionopolis Way, Connexis, Singapore 138632, Singapore. 3 Департамент химической и биомолекулярной инженерии, Национальный университет Сингапура, 4 Engineering Drive 4, Singapore 117585, Singapore. [email protected]. Бесплатная статья PMC Элемент в буфере обмена Спандхана Гонугунтла и др.Sci Adv. 2021 . Бесплатная статья PMC Показать детали Показать варианты Показать варианты Формат АннотацияPubMedPMID .2021 31 марта; 7 (14): eabe5698. DOI: 10.1126 / sciadv.abe5698. Печать 2021 Мар. Принадлежности 1 Департамент химической и биомолекулярной инженерии, Национальный университет Сингапура, 4 Engineering Drive 4, Singapore 117585, Singapore. 2 Институт высокопроизводительных вычислений A * STAR, 1 Fusionopolis Way, Connexis, Singapore 138632, Singapore. 3 Департамент химической и биомолекулярной инженерии, Национальный университет Сингапура, 4 Engineering Drive 4, Singapore 117585, Singapore. [email protected]. Элемент в буфере обмена Полнотекстовые ссылки Опции CiteDisplay Показать варианты Формат АннотацияPubMedPMID Абстрактный Материалы (например,г., кирпич или дерево) обычно воспринимаются как неразумные. Даже хорошо изученные «умные» материалы способны выполнять только чрезвычайно примитивные аналитические функции (например, простые логические операции). Здесь показано, что материал может выполнять (то есть без компьютера) сложную математическую операцию в исчислении: временную производную. Он состоит из материала, реагирующего на раздражители, асимметрично покрытого адаптивным непроницаемым слоем. Его способность анализировать производную продемонстрирована экспериментами, численным моделированием и теорией (т.е., масштабирование между производной и откликом). Показано, что этот класс автономных реагирующих на раздражители материалов эффективно служит производным контроллером для контролируемой доставки и саморегуляции. Его быстрый отклик обеспечивает те же функциональные возможности и эффективность, что и сложные производные промышленные контроллеры, широко используемые в производстве. Эти результаты иллюстрируют возможность напрямую связать специально разработанные материалы с высшими математическими концепциями для разработки «интеллектуальных» систем на основе материалов. Copyright © 2021 Авторы, некоторые права защищены; эксклюзивный лицензиат Американской ассоциации содействия развитию науки. Нет претензий к оригинальным работам правительства США. Распространяется по некоммерческой лицензии Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY-NC). Цифры Рис.1. Асимметричный реагирующий на стимулы материал, который воспринимает… Рис. 1. Асимметричный реагирующий на раздражитель материал, который воспринимает временную производную переменной процесса для… Рис. 1. Асимметричный реагирующий на раздражитель материал, который воспринимает временную производную переменной процесса для производного управления. ( A ) Определение производного контроля. ( B ) Пропорциональный контроллер. Переменная может легко превысить максимальный порог, если реакция контроллера прямо пропорциональна изменениям переменной процесса из-за возмущения. ( C ) Производный контроллер: он предсказывает будущую тенденцию и способен обеспечить быструю корректирующую реакцию до того, как переменная процесса достигнет нездорового уровня. ( D ) Реагирующий на стимулы гидрогель, покрытый слоем непроницаемого эластомера (т.е.е., асимметричный реагирующий на стимулы материал) воспринимает временную производную химического вещества в среде и реагирует изгибом. ( E ) Приведение в действие изгиба асимметричного реагирующего на стимулы материала на основе временной производной можно использовать в качестве производного контроллера для контролируемой доставки лекарственного средства или химического вещества из резервуара и саморегулирования. ( F ) H. bracteatum — природный пример, имеющий аналогичную структуру (изображение слева). Он состоит из гигроскопичных петель с более толстой кутикулой на одной стороне, которая позволяет ему изгибаться (изображение справа).Это изображение воспроизводится с разрешения Oxford University Press ( 31 ). Рис. 2. Производный датчик. Рис. 2. Производный датчик. Асимметричный pH-чувствительный материал изгибается при изменении среды (… Инжир.2. Производный датчик. Асимметричный pH-чувствительный материал изгибался, когда среда ( A ) быстро менялась от деионизированной воды до pH 11, ( B ) быстро от деионизированной воды до pH 12, ( C ) с постепенным линейным увеличением pH на 1 ед. за 30 мин, ( D ) с постепенным линейным увеличением на 1 единицу pH за 10 мин, ( E ) постепенно от деионизированной воды до pH 11 путем добавления раствора pH 12 со скоростью 0,15 мл / мин (или 0,3 мкМ / s) и ( F ) постепенно от деионизированной воды до pH 11 путем добавления раствора pH 12 при 0.25 мл / мин (или 0,5 мкМ / с). ( G ) Когда pH оставался постоянным со временем, асимметричный pH-чувствительный материал оставался плоским при pH 2, pH 7, pH 10, pH 11 или pH 12. ( H ) Асимметричный чувствительный к глюкозе материал изгибался. когда раствор, содержащий глюкозу (500 мг / дл), добавляли со скоростью (i) 0,1 мл / мин (или 1 мкМ / с) или (ii) 0,3 мл / мин (или 3 мкМ / с). Шкала линейки 5 мм. Рис.3. Умный и адаптивный асимметричный… Рис. 3. Умный и адаптивный асимметричный pH-чувствительный материал. ( A ) Асимметричный pH-чувствительный… Рис. 3. Умный и адаптивный асимметричный pH-чувствительный материал. ( A ) Асимметричный чувствительный к pH материал — умный: он реагирует на изменение pH изменением своего размера.Асимметричный pH-чувствительный материал адаптивен благодаря своей способности оставаться плоским независимо от своего размера (т.е. расширяться или сжиматься). ( B ) График, показывающий степень сжатия асимметричного pH-чувствительного материала при различных pH в равновесии. ( C ) Кривые напряжение-деформация плиты из чувствительного к pH гидрогеля и эластомера. ( D ) СЭМ-изображение показало, что толщина покрытия из эластомера на pH-чувствительном гидрогеле составляла <1 мкм. Шкала 10 мкм. ( E ) Асимметричный pH-чувствительный материал был непроницаемым для диффузии молекул из-за покрытия из эластомера.Его использовали в качестве барьера для разделения двух резервуаров, один из которых содержал раствор желтого красителя, а другой — деионизированную (ДИ) воду. Даже в расширенном состоянии при pH 2 он предотвращал диффузию красителя из резервуара слева в резервуар справа. ( F ) Измерения краевого угла смачивания воды на поверхности чувствительного к pH гидрогеля, покрытого эластомером, показали, что поверхность всегда была гидрофобной с приблизительно одинаковым краевым углом смачивания независимо от размера нижележащего гидрогеля (т.е.е., как в развернутом, так и в сжатом состоянии). ( G ) СЭМ-изображения поверхностей плиты из асимметричного pH-чувствительного материала. И поверхность pH-чувствительного гидрогеля («сторона гидрогеля»), и поверхность, покрытая эластомером на противоположной стороне («сторона эластомера»), показаны для случаев, когда асимметричный pH-чувствительный материал был расширен в растворе с pH 2. и сжали в растворе с pH 12. Шкала 200 мкм. Фото: Спандхана Гонугунтла и Вей Чун Лим, Национальный университет Сингапура. Рис. 4. Моделирование изгиба… Рис. 4. Моделирование изгиба асимметричного pH-чувствительного материала на основе временной производной. Инжир.4. Моделирование изгиба асимметричного pH-чувствительного материала на основе временной производной. ( A ) Схема, иллюстрирующая одностороннюю нестационарную реакцию диффузии ионов OH — из среды в асимметричный pH-чувствительный материал, который вызвал срабатывание изгиба. Изгиб асимметричного pH-чувствительного материала в разное время в среде, которая изменилась с pH 7 до pH 11 двумя способами: ( B ) более медленная скорость впрыскивания раствора pH 12 при 0.15 мл / мин и ( C ) более высокая скорость введения раствора с pH 12 при 0,25 мл / мин. Численные решения моделирования изгиба асимметричного pH-чувствительного материала (сплошные линии) согласуются с экспериментальными данными (светлые кружки). ( D ) График скорости глубины проникновения, d δ / dt , в зависимости от временной производной концентрации ионов OH — в среде, dc S / dt , полученные из численного решения модели для различных нормированных скоростей изменения концентрации.На вставке график в логарифмическом масштабе с половинным наклоном. ( E ) Графики кривизны κ асимметричного pH-чувствительного материала во времени, полученные из модели. Кривые разного цвета представляют тренды для различных производных по времени концентрации ионов OH – в среде. Скорости, указанные в легенде, нормализованы относительно максимальной временной производной концентрации путем введения в среду 0,25 мл / мин раствора с pH 12.( F ) График начальной скорости изменения кривизны, d κ / dt , в зависимости от временной производной, dc S / dt , полученный из модели для различных нормированных скоростей изменение концентрации. На вставке график в логарифмическом масштабе с половинным наклоном. Таким образом, этот график удобно использовать в качестве калибровочной кривой: путем экспериментальной количественной оценки скорости изгиба асимметричного материала, реагирующего на стимулы, в начальные моменты времени, можно определить временной градиент концентрации в среде, обратившись к этому графику. Рис. 5. Производный контроллер для контролируемой подачи. Рис. 5. Производный контроллер для контролируемой подачи. ( A ) Умный планшет состоит из… Инжир.5. Производный контроллер для контролируемой поставки. ( A ) Интеллектуальный планшет состоит из резервуара с лекарством и асимметричного pH-чувствительного материала, который покрывает резервуар. Когда pH среды изменяется, асимметричный pH-чувствительный материал изгибается и высвобождает лекарство из резервуара. ( B ) Реверсивный двухпозиционный регулируемый выпуск. Флуоресцентный краситель высвобождается в растворе с pH 12 и обратимо блокируется от высвобождения в растворе с pH 2. Краситель высвобождается при изменении pH среды с ( C ) pH 7 на pH 11 или ( D ) pH 10 на pH 11.48. В обоих случаях pH среды увеличивался четырьмя способами: pH изменялся быстро (т. Е. Путем введения щелочного раствора с очень высокой скоростью потока 25 мл / мин; фиолетовые квадраты) или постепенно путем введения щелочного раствора. раствора при постоянной скорости потока 0,25 мл / мин (т. е. 0,5 мкМ / с для pH от 7 до pH 11 и 1,5 мкМ / с для pH от 10 до pH 11,48; красные кружки), 0,2 мл / мин (т. е. 0,4 мкМ / с для pH от 7 до 11 и 1,2 мкМ / с для pH от 10 до 11,48; синие треугольники) или 0,15 мл / мин (т. е. 0,3 мкМ / с для pH от 7 до pH 10 и 0.9 мкМ / с для pH от 10 до 11,48; зеленые перевернутые треугольники). pH среды не изменился (оранжевые ромбы). ( E ) Отсутствие высвобождения флуоресцентного красителя, когда pH среды (т.е. pH 10, 11 или 12) остается неизменным со временем, независимо от величины pH. ( F ) Скорости отклика асимметричного pH-чувствительного материала и кубического кусочка pH-чувствительного гидрогеля. Рис.6. Производный регулятор саморегулирования. Рис. 6. Производный регулятор саморегулирования. ( A ) Механизм обратной связи для саморегулирования… Рис. 6. Производный регулятор саморегулирования. ( A ) Механизм обратной связи для саморегулирования pH среды с помощью контроллера с асимметричным реагирующим на раздражители материалом.( B ) Контроллер регулировал pH среды на уровне около pH 4, даже когда большое нарушение (например, раствор pH 12,2, вводимый со скоростью потока 0,15 мл / мин или 0,5 мкМ / с) применялся непрерывно в течение 60 мин. (Красная линия). Когда контроллер не содержал концентрированной кислоты в резервуаре, pH среды увеличивался из-за нарушения, как и ожидалось (синяя линия). Утечка из контроллера была незначительной (черная линия). ( C ) График с увеличенной осью и красной линии, показанной на (B).( D ) Экспериментальные изображения показали, что асимметричный pH-чувствительный материал неоднократно открывал и закрывал резервуар. Красный цвет был обусловлен красителем, смешанным с концентрированной кислотой в резервуаре. Похожие статьи Путь к интеллекту: использование материалов, реагирующих на стимулы, в качестве строительных блоков для построения умных и функциональных систем. Zhang X, Chen L, Lim KH, Gonuguntla S, Lim KW, Pranantyo D, Yong WP, Yam WJT, Low Z, Teo WJ, Nien HP, Loh QW, Soh S. Чжан X и др. Adv Mater. Март 2019; 31 (11): e1804540. DOI: 10.1002 / adma.201804540. Epub 2019 9 января. Adv Mater. 2019. PMID: 30624820 Рассмотрение. Выполнение логических операций со строительными блоками, реагирующими на стимулы. Чжан Икс, Со С.Чжан X и др. Adv Mater. 2017 Май; 29 (18). DOI: 10.1002 / adma.201606483. Epub 2017 1 марта. Adv Mater. 2017 г. PMID: 28247973 Интеллектуальные актуаторы и клеи для реконфигурируемых материалов. Ко Х, Джэйви А. Ко Х и др. Acc Chem Res. 2017 18 апреля; 50 (4): 691-702. DOI: 10.1021 / acs.accounts.6b00612. Epub 2017 6 марта. Acc Chem Res. 2017 г. PMID: 28263544 Дробное исчисление в биоинженерии, часть 3. Магин Р.Л. Магин Р.Л. Crit Rev Biomed Eng. 2004; 32 (3-4): 195-377. DOI: 10.1615 / critrevbiomedeng.v32.i34.10. Crit Rev Biomed Eng. 2004 г. PMID: 15651636 Рассмотрение. Обратимый перенос протонов, индуцированный стимулами, для реагирующих на стимулы материалов и устройств. Ван И, Чжан Ю.М., Чжан С.Х. Ван И и др. Acc Chem Res. 2021, 4 мая; 54 (9): 2216-2226.DOI: 10.1021 / acs.accounts.1c00061. Epub 2021 21 апреля. Acc Chem Res. 2021 г. PMID: 33881840 использованная литература Чжан X., Чен Л., Лим К.Х., Гонугунтла С., Лим К.В., Пранантьо Д., Йонг В.П., Ям В.Дж.Т., Лоу З., Тео В.Дж., Ниен Х.П., Ло К.В., Сох С., Путь к интеллекту: Использование реагирующих на раздражители материалов в качестве строительных блоков для построения умных и функциональных систем.Adv. Матер. 31, 1804540 (2019). — PubMed Стюарт MAC, Huck WTS, Genzer J., Müller M., Ober C., Stamm M., Sukhorukov GB, Szleifer I., Tsukruk VV, Urban M., Winnik F., Zauscher S., Luzinov I., Minko S ., Новые области применения реагирующих на раздражители полимерных материалов.Nat. Матер. 2010. Т. 9. С. 101–113. — PubMed Д. Э. Себорг, Д. А. Меллихамп, Т. Ф. Эдгар, Ф. Дж. Дойл III, Динамика процессов и управление (John Wiley & Sons, 2010). Шмальоханн Д., Термо- и pH-чувствительные полимеры в доставке лекарств. Adv. Препарат Делив. Ред. 58, 1655–1670 (2006). — PubMed Ян X., Ван Ф., Чжэн Б., Хуанг Ф., Супрамолекулярные полимерные материалы, реагирующие на стимулы. Chem. Soc. Ред. 41, 6042–6065 (2012).- PubMed Показать все 51 упоминание LinkOut — дополнительные ресурсы Полнотекстовые источники Другие источники литературы [Икс] цитировать Копировать Формат: AMA APA ГНД NLM . No related posts. Отставить комментарий Отменить ответ Ваш электронный адрес не будет опубликован.Обязательные для заполнения поля отмечены* Комментарий